أ ظل (يتم اختصاره كـ tg أو tan) هو أ دالة مثلثية. لتحديد ظل الزاوية ، يمكننا استخدام استراتيجيات مختلفة: حساب النسبة بين الجيب وجيب التمام للزاوية ، إذا كانت معروفة ؛ استخدم جدول الظل أو الآلة الحاسبة ؛ احسب النسبة بين الضلع المقابل والضلع المجاورة ، إذا كانت الزاوية المعنية داخلية (حادة) لمثلث قائم ، من بين أمور أخرى.
اقرأ أيضا: ما هي الدائرة المثلثية المستخدمة؟
ملخص عن الظل
الظل هو دالة مثلثية.
ظل الزاوية الداخلية للمثلث القائم هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.
ظل أي زاوية هو نسبة الجيب وجيب التمام لتلك الزاوية.
الوظيفة \ (و (س) = tg \ س \) يعرف للزوايا x معبرًا عنها بالتقدير الدائري ، مثل أن cos \ (كوس \ س ≠ 0 \).
يوضح الرسم البياني لوظيفة الظل خطوط مقاربة عمودية للقيم ، وأين \ (س = \ فارك {π} 2 + ك \)، مع ك كله ، مثل \ (س = - \ فارك {π} 2 \).
قانون الظل هو التعبير الذي يربط ، في أي مثلث ، ظل زاويتين والأضلاع المقابلة لهاتين الزاويتين.
ظل الزاوية
إذا كانت α واحدة زاوية الداخلية من أ مثلث قائم، ظل α هو النسبة بين طول الساق المقابلة وطول الساق المجاورة:
بالنسبة لأي زاوية α ، يكون الظل هو النسبة بين sin α وجيب تمام α ، حيث \ (كوس \ α ≠ 0 \):
\ (tg \ α = \ frac {sin \ α} {cos \ α} \)
وتجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت الزاوية α في الربع الأول أو الثالث ، فسيكون للماس علامة موجبة ؛ ولكن إذا كانت α زاوية في الربع الثاني أو الرابع ، فسيكون للماس إشارة سالبة. تنتج هذه العلاقة مباشرة من قاعدة الإشارة بين علامتي الجيب وجيب التمام لكل α.
مهم: لاحظ أن الظل غير موجود لقيم α حيث \ (كوس \ α = 0 \). يحدث هذا لزوايا 90 درجة ، 270 درجة ، 450 درجة ، 630 درجة وما إلى ذلك. لتمثيل هذه الزوايا بطريقة عامة ، نستخدم تدوين راديان: \ (\ فارك {π} 2 + كيلو \)، مع ك جميع.
ظل من الزوايا البارزة
باستخدام التعبير \ (tg \ α = \ frac {sin \ α} {cos \ α} \)، يمكننا إيجاد ظل زوايا رائعةوهي زوايا 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة:
\ (tg \ 30 ° = \ frac {sin \ 30 °} {cos \ 30 °} = \ frac {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt3} {2}} = \ frac {1} {\ sqrt3} = \ frac {\ sqrt3} {3} \)
\ (tg \ 45 ° = \ frac {sin \ 45 °} {cos \ 45 °} = \ frac {\ frac {\ sqrt2} {2}} {\ frac {\ sqrt2} {2}} = 1 \)
\ (tg \ 60 ° = \ frac {sin \ 60 °} {cos \ 60 °} = \ frac {\ frac {\ sqrt3} {2}} {\ frac {1} 2} = \ sqrt3 \)
مثير للاهتمام: بالإضافة إلى ذلك ، يمكننا تحليل قيم الظل للزوايا 0 ° و 90 ° ، والتي تُستخدم أيضًا على نطاق واسع. بما أن sin 0 ° = 0 ، نستنتج أن tan 0 ° = 0. بالنسبة للزاوية 90 درجة ، بما أن cos90 ° = 0 ، فإن الظل غير موجود.
كيف تحسب الظل؟
لحساب الظل ، نستخدم الصيغة tg α = sin αcos α ، المستخدمة لحساب ظل أي زاوية. دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة أدناه.
مثال 1
أوجد ظل الزاوية α في المثلث القائم أدناه.
دقة:
بالنسبة للزاوية α ، فإن ضلع القياس 6 هو الضلع المقابل وضلع القياس 8 هو الضلع المجاور. مثله:
\ (tg \ α = \ frac {6} 8 = 0.75 \)
مثال 2
مع العلم أن \ (الخطيئة \ 35 ° ≈0.573 \) وجيب التمام\(35°≈0,819\)، أوجد القيمة التقريبية لـ 35 ° tangent.
دقة:
نظرًا لأن ظل الزاوية هو النسبة بين الجيب وجيب التمام لتلك الزاوية ، فلدينا:
\ (tg \ 35 ° = \ frac {sin \ 35 °} {cos \ 35 °} = \ frac {0.573} {0.819} \)
\ (tg \ 35 ° ≈0.700 \)
دالة الظل
الدالة fx = tg x معرفة للزوايا x معبرًا عنها بالتقدير الدائري ، لذلك \ (كوس \ س ≠ 0 \). هذا يعني أنه يتم التعبير عن مجال وظيفة الظل بواسطة:
\ (D (tg) = \ {x∈ \ mathbb {R}: x ≠ \ frac {π} 2 + kπ، k∈ \ mathbb {Z} \} \)
علاوة على ذلك ، كل شيء أرقام حقيقية هي صورة دالة الظل.
→ رسم بياني لوظيفة الظل
لاحظ أن الرسم البياني لوظيفة الظل له خطوط مقاربة عمودية للقيم حيث \ (س = \ فارك {π} 2 + ك \)، مع ك كله ، مثل \ (س = - \ فارك {π} 2 \). لهذه القيم x، لم يتم تعريف الظل (أي ، الظل غير موجود).
نرى أيضا: ما هو المجال والمدى والصورة؟
قانون الظلال
قانون الظل هو أ التعبير الذي يربط ، في مثلث أي ، مماسات زاويتين والأضلاع المقابلة لهاتين الزاويتين. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الزاويتين α و للمثلث ABC أدناه. لاحظ أن الضلع CB = a يقابل الزاوية α وأن الضلع AC = b يقابل الزاوية β.
ينص قانون الظل على ما يلي:
\ (\ frac {a-b} {a + b} = \ frac {tg \ [\ frac {1} 2 (α-β)]} {tg \ [\ frac {1} 2 (α + β)]} \)
النسب المثلثية
الى النسب المثلثية هل الدوال المثلثية تعمل على المثلث الأيمن. نفسر هذه النسب على أنها علاقات بين أضلاع وزوايا هذا النوع من المثلثات.
تمارين حلها على الظل
السؤال رقم 1
لنفترض أن θ زاوية الربع الثاني مثل هذه الخطيئة\ (الخطيئة \ θ≈0.978 \)، لذلك tgθ تقريبًا:
أ) -4،688
ب) 4688
ج) 0.2086
د) -0.2086
ه) 1
دقة
البديل أ
لو \ (الخطيئة \ θ≈0.978 \)، إذن ، باستخدام الهوية الأساسية لعلم المثلثات:
\ (الخطيئة ^ 2 θ + cos ^ 2 θ = 1 \)
\ (0.978 ^ 2 + cos ^ 2 θ = 1 \)
\ (كوس ^ 2 θ = 1-0.956484 \)
\ (cos \ θ = ± \ sqrt {0.043516} \)
بما أن θ زاوية في الربع الثاني ، فإن cosθ سالب ، لذلك:
\ (كوس \ θ≈- 0.2086 \)
قريباً:
\ (tg \ θ = \ frac {sin \ θ} {cos \ θ} = \ frac {0.978} {- 0.2086} = - 4.688 \)
السؤال 2
اعتبر مثلث قائم الزاوية ABC بأرجل AB = 3 سم و AC = 4 سم. ظل الزاوية B هو:
أ) \ (\ فارك {3} 4 \)
ب) \ (\ فارك {3} 5 \)
ث) \ (\ فارك {4} 3 \)
د) \ (\ فارك {4} 5 \)
و) \ (\ فارك {5} 3 \)
دقة:
البديل ج
بالبيان ، الساق المقابلة للزاوية \ (\ قبعة {ب} \) هو AC قياسه 4 سم والساق المجاورة للزاوية \ (\ قبعة {ب} \) هو AB بمقياس 3 سم. مثله:
\ (tg \ hat {C} = \ frac {4} 3 \)
بقلم ماريا لويزا ألفيس ريزو
مدرس رياضيات
