أ حَجم ذهبي أو النسبة الإلهية هي مساواة مرتبطة بأفكار التناغم والجمال والكمال. إقليدس الإسكندرية ، عالم رياضيات يوناني عاش حوالي 300 قبل الميلاد. C. ، كان من أوائل المفكرين الذين قاموا بإضفاء الطابع الرسمي على هذا المفهوم الذي يثير اهتمام الباحثين من مختلف المجالات حتى يومنا هذا.
سبب هذا الاهتمام هو أن النسبة الذهبية يمكن ملاحظتها بطريقة تقريبية في الطبيعة ، بما في ذلك في بذور وأوراق النباتات وفي جسم الإنسان. وبالتالي ، فإن النسبة الذهبية هي موضوع دراسة من قبل مختلف المهنيين ، مثل علماء الأحياء والمهندسين المعماريين والفنانين والمصممين.
اقرأ أيضا: Number pi - أحد أهم الثوابت في الرياضيات
ملخص عن النسبة الذهبية
النسبة الذهبية هي النسبة ل \ (أ> ب> 0 \) مثل ذلك
\ (\ frac {a + b} أ = \ فارك {a} ب \)
في ظل هذه الظروف ، السبب الب تسمى النسبة الذهبية.
ترتبط النسبة الذهبية بمفاهيم التوازن والنقاء والكمال.
يمثل الحرف اليوناني ϕ (اقرأ: fi) الرقم الذهبي ، وهو الثابت الذي تم الحصول عليه من النسبة الذهبية.
في تسلسل فيبوناتشي ، تقترب حواصل القسمة بين كل مصطلح وسابقه من الرقم الذهبي.
المستطيل الذهبي هو مستطيل أضلاعه في النسبة الذهبية.
ما هي النسبة الذهبية؟
ضع في اعتبارك قطعة مستقيمة مقسمة إلى قطعتين: الجزء الأكبر من الطول ال وأصغر ب. أدرك ذلك أ + ب هو مقياس المقطع بأكمله.
النسبة الذهبية هي المساواة من بين الأسباب\ (\ mathbf {\ frac {a + b} a} \) إنها \ (\ mathbf {\ frac {a} {b}} \)، أي
\ (\ frac {a + b} أ = \ فارك {a} ب \)
في هذا السياق نقول ذلك ال إنها ب هي في النسبة الذهبية.
ولكن لأي قيم ال إنها ب هل لدينا النسبة الذهبية؟ هذا ما سنراه بعد ذلك.
كيف يحسب الرقم الذهبي؟
السبب \ (\ فارك {أ} ب \)(أو ، بالمثل ، السبب \ (\ فارك {أ + ب} أ \)) ينتج عنه ثابت يسمى الرقم الذهبي ويمثلها الحرف اليوناني ϕ. وبالتالي ، من الشائع أن تكتب
\ (\ فارك {أ + ب} أ = \ فارك {أ} ب = ϕ \)
لحساب الرقم الذهبي ، دعنا نفكر في النسبة الذهبية لـ b = 1. وبالتالي ، يمكننا بسهولة العثور على قيمة ال واحصل على ϕ من المساواة \ (\ mathbf {\ frac {a} {b} = ϕ} \).
لاحظ أنه يمكننا كتابة النسبة الذهبية على النحو التالي ، باستخدام خاصية الضرب التبادلي:
\ (أ ^ 2 = ب⋅ (أ + ب) \)
استبدال ب = 1 ، لدينا
\ (أ ^ 2 = 1⋅ (أ + 1) \)
\ (أ ^ 2-أ -1 = 0 \)
تطبيق صيغة بهاسكارا لهذه المعادلة التربيعية ، نستنتج أن الحل الإيجابي لـ ال é
\ (أ = \ فارك {1+ \ sqrt5} 2 \)
مثل ال هو مقياس لقطعة ، سوف نتجاهل الحل السالب.
إذا كيف \ (\ فارك {أ} ب = ϕ \), القيمة الدقيقة للرقم الذهبي هي:
\ (ϕ = \ فارك {1+ \ sqrt5} 2 \)
نحسب حاصل القسمة القيمة التقريبية للرقم الذهبي:
\(ϕ≈1,618033989\)
نرى أيضا: كيف تحل العمليات الحسابية بالكسور؟
النسبة الذهبية وتسلسل فيبوناتشي
أ تسلسل فيبوناتشي هو قائمة من الأرقام حيث يكون كل مصطلح ، بدءًا من المصطلح الثالث ، مساويًا لمجموع السالفين. لنلقِ نظرة على أول عشرة حدود من هذا التسلسل:
\ (أ_1 = 1 \)
\ (أ_2 = 1 \)
\ (a_3 = 1 + 1 = 2 \)
\ (أ_4 = 1 + 2 = 3 \)
\ (أ_5 = 2 + 3 = 5 \)
\ (أ_6 = 3 + 5 = 8 \)
\ (أ_7 = 5 + 8 = 13 \)
\ (أ_8 = 8 + 13 = 21 \)
\ (أ_9 = 13 + 21 = 34 \)
\ (أ_ {10} = 21 + 34 = 55 \)
كما نحسب حاصل القسمة بين كل مصطلح وسابقه في تسلسل فيبوناتشي ، نحن نقترب من الرقم الذهبي ϕ:
\ (\ frac {a_2} {a_1} = \ frac {1} 1 = 1 \)
\ (\ frac {a_3} {a_2} = \ frac {2} 1 = 2 \)
\ (\ frac {a_4} {a_3} = \ frac {3} 2 = 1.5 \)
\ (\ frac {a_5} {a_4} = \ frac {5} 3 = 1.6666… \)
\ (\ frac {a_6} {a_5} = \ frac {8} 5 = 1.6 \)
\ (\ frac {a_7} {a_6} = \ frac {13} 8 = 1.625 \)
\ (\ frac {a_8} {a_7} = \ frac {21} {13} = 1.6153… \)
\ (\ frac {a_9} {a_8} = \ frac {34} {21} = 1.61904… \)
\ (\ frac {a_10} {a_9} = \ frac {55} {34} = 1.61764… \)
النسبة الذهبية والمستطيل الذهبي
واحد مستطيل حيث أطول جانب ال والجانب الأصغر ب هي في النسبة الذهبية إنه يسمى بالمستطيل الذهبي. مثال على مستطيل ذهبي هو مستطيل قياس ضلعه 1 سم و \ (\ فارك {1+ \ sqrt5} 2 \) سم.
تعرف أكثر: ما هي الكميات المتناسبة مباشرة؟
تطبيقات النسبة الذهبية
لاحظ أنه حتى الآن درسنا النسبة الذهبية في سياقات رياضية مجردة فقط. بعد ذلك ، سنرى بعض الأمثلة التطبيقية ، ولكن يجب توخي الحذر: لم يتم تقديم النسبة الذهبية بالضبط في أي من هذه الحالات. ما هو موجود هو تحليلات السياقات المختلفة التي الرقم الذهبي يبدو كذلكتقريبي.
النسبة الذهبية في العمارة
تزعم بعض الدراسات أن تقديرات عدد الذهب لوحظت في نسب معينة لأبعاد هرم خوفو في مصر ومبنى مقر الأمم المتحدة في نيويورك.
النسبة الذهبية في جسم الإنسان
تختلف قياسات جسم الإنسان من شخص لآخر ، ولا يوجد نوع جسم مثالي. ومع ذلك ، على الأقل منذ اليونان القديمة ، كانت هناك نقاشات حول الجسم المثالي رياضيًا (وهو بعيد المنال تمامًا في الواقع) ، مع قياسات متعلقة بالنسبة الذهبية. في هذا السياق النظري ، على سبيل المثال ، نسبة ارتفاع الشخص إلى المسافة بين السرة والأرض ستكون الرقم الذهبي.
النسبة الذهبية في الفن
هناك بحث عن أعمال "الرجل الفيتروفي" و "الموناليزا" للإيطالي ليوناردو دافنشي ، مما يشير إلى استخدام المستطيلات الذهبية.
النسبة الذهبية في الطبيعة
هناك دراسات تشير إلى أ العلاقة بين النسبة الذهبية وطريقة توزيع أوراق بعض النباتات على الجذع. هذا الترتيب للأوراق يسمى phyllotaxy.
النسبة الذهبية في التصميم
تمت دراسة النسبة الذهبية أيضًا واستخدامها في مجال التصميم باعتباره a أداة تكوين المشروع.
تمارين حلها على النسبة الذهبية
السؤال رقم 1
(Enem) يتم تقسيم القطعة المستقيمة إلى جزأين في النسبة الذهبية عندما يكون الكل إلى أحد الأجزاء بنفس النسبة التي يمثلها هذا الجزء إلى الجزء الآخر. عادة ما يتم تمثيل ثابت التناسب هذا بالحرف اليوناني ϕ ، وقيمته تعطى بالحل الإيجابي للمعادلة ϕ2 = ϕ + 1.
تمامًا مثل القوة \(ϕ^2\)، يمكن التعبير عن القوى الأعلى لـ في الشكل \ (أϕ + ب \)، حيث a و b أعداد صحيحة موجبة ، كما هو موضح في الجدول.
الفاعلية \(ϕ^7\)، المكتوبة في الشكل أ + ب (أ وب عدد صحيح موجب) ، هو
أ) 5ϕ + 3
ب) 7ϕ + 2
ج) 9ϕ + 6
د) 11ϕ + 7
هـ) 13ϕ + 8
دقة
مثل \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\)، علينا أن
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
تطبيق التوزيع ،
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
مثل \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
البديل ه.
السؤال 2
قيم كل عبارة أدناه حول الرقم الذهبي كـ T (صواب) أو F (خطأ).
أنا. الرقم الذهبي ϕ غير منطقي.
ثانيًا. تقترب حواصل القسمة بين كل مصطلح وسابقه في تسلسل فيبوناتشي من قيمة ϕ.
ثالثا. 1.618 هو التقريب إلى ثلاثة منازل عشرية للعدد الذهبي ϕ.
التسلسل الصحيح ، من أعلى إلى أسفل ، هو
أ) V-V-V
ب) F-V-F
ج) V-F-V
د) F-F-F
ه) F-V-V
دقة
أنا. حقيقي.
ثانيًا. حقيقي.
ثالثا. حقيقي.
البديل أ.
مصادر
FRANCISCO، S. V. من L. بين سحر وواقعية النسبة الذهبية. أطروحة (درجة الماجستير المهنية في الرياضيات في الشبكة الوطنية) - معهد العلوم البيولوجية ، والآداب والعلوم الدقيقة ، جامعة Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. ساو باولو ، 2017. متوفر في: http://hdl.handle.net/11449/148903.
المبيعات ، J. من S. النسبة الذهبية موجودة في الطبيعة. الانتهاء من الدورة التدريبية (درجة في الرياضيات) ، المعهد الفيدرالي للتربية والعلوم والتكنولوجيا في بياوي. بياوي ، 2022. متوفر في http://bia.ifpi.edu.br: 8080 / jspui / handle / 123456789/1551.
بقلم ماريا لويزا ألفيس ريزو
مدرس رياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
