إحدى التقنيات المستخدمة في الحل المعادلات التربيعية هي الطريقة المعروفة باسم مربعات كاملة. تتكون هذه الطريقة من تفسير معادلة من ثانياالدرجة العلمية ك ثلاثي الحدود المربع الكامل واكتب النموذج الخاص بك إلى عوامل. في بعض الأحيان ، يكشف هذا الإجراء البسيط بالفعل عن جذور المعادلة.
لذلك ، من الضروري أن يكون لديك معرفة أساسية حول منتجات بارزة, ثلاثي الحدودميدانفي احسن الاحوال و عامل متعدد الحدود لاستخدام هذه التقنية. في كثير من الأحيان ، ومع ذلك ، فإنه يسمح بإجراء الحسابات "في الرأس".
لذلك ، سوف نتذكر الحالات الثلاث منتجاتلافت للنظر قبل إظهار طريقةلإكمالمربعات، والتي بدورها سيتم الكشف عنها في ثلاث حالات مختلفة.
المنتجات المتميزة وثلاثية الحدود المربعة المثالية
بعد ذلك ، انظر إلى المنتج الرائع ، ثلاثي الحدودميدانفي احسن الاحوال وهو ما يعادله والشكل محللة من هذا ثلاثي الحدود ، على التوالي. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك أن x غير معروف و ال هو أي رقم حقيقي.
(س + ك)2 = س2 + 2kx + k2 = (س + ك) (س + ك)
(س - ك)2 = س2 - 2kx + k2 = (س - ك) (س - ك)
تشير معادلة الدرجة الثانية إلى الدرجة الثالثة منتجلافت للنظر، المعروف باسم حاصل الجمع والفرق ، يمكن حله باستخدام تقنية تجعل العمليات الحسابية أسهل. نتيجة لذلك ، لن يتم النظر فيه هنا.
المعادلة هي المثلث التربيعي الكامل
إذا كان أحد معادلة من ثانياالدرجة العلمية هو ثلاثي الحدود مربع كامل ، ثم يمكنك تحديد معاملاته على النحو التالي: أ = 1, ب = 2 كيلو أو - 2 كيلو و ج = ك2. للتحقق من ذلك ، ما عليك سوى مقارنة المعادلة التربيعية بـ a ثلاثي الحدودميدانفي احسن الاحوال.
لذلك ، في حل ملف معادلة من ثانياالدرجة العلمية x2 + 2kx + k2 = 0 ، سيكون لدينا دائمًا إمكانية القيام بما يلي:
x2 + 2kx + k2 = 0
(س + ك)2 = 0
√ [(س + ك)2] = √0
| س + ك | = 0
س + ك = 0
س = - ك
- س - ك = 0
س = - ك
وبالتالي ، فإن الحل فريد ويساوي –k.
إذا معادلة يكون س2 - 2kx + k2 = 0 ، يمكننا فعل الشيء نفسه:
x2 - 2kx + k2 = 0
(س - ك)2 = 0
√ [(س - ك)2] = √0
| س - ك | = 0
س - ك = 0
س = ك
- س + ك = 0
- س = - ك
س = ك
لذلك ، الحل فريد ويساوي k.
مثال: ما هي جذور معادلة x2 + 16 س + 64 = 0؟
لاحظ أن المعادلة أ ثلاثي الحدودميدانفي احسن الاحوال، حيث أن 2k = 16 ، حيث k = 8 ، و k2 = 64 ، حيث ك = 8. حتى نتمكن من كتابة:
x2 + 16 س + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√ [(x + 8)2] = √0
س + 8 = 0
س = - 8
هنا تم تبسيط النتيجة ، لأننا نعلم بالفعل أن الحلين سيساويان نفس العدد الحقيقي.
المعادلة ليست ثلاثية الحدود لمربع كامل
في الحالات التي يكون فيها معادلة من ثانياالدرجة العلمية ليس ثلاثي حدود مربع كامل ، يمكننا النظر في الفرضية التالية لحساب نتائجه:
x2 + 2 كيلو × + ج = 0
لاحظ أن هذه المعادلة تتحول إلى أ ثلاثي الحدودميدانفي احسن الاحوال، فقط استبدل قيمة C بقيمة k2. نظرًا لأن هذه معادلة ، فإن الطريقة الوحيدة للقيام بذلك هي إضافة ك2 على كلا العضوين ، ثم مبادلة معامل العضو C. يشاهد:
x2 + 2 كيلو × + ج = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + ك2
x2 + 2kx + k2 = ك2 - ج
بعد هذا الإجراء ، يمكننا المضي قدمًا في التقنية السابقة ، وتحويل ملف ثلاثي الحدودميدانفي احسن الاحوال في منتج رائع وحساب الجذور التربيعية لكلا الطرفين.
x2 + 2kx + k2 = ك2 - ج
(س + ك)2 = ك2 - ج
√ [(س + ك)2] = √ (ك2 - ج)
س + ك = ± √ (ك2 - ج)
تظهر علامة ± عندما تظهر نتيجة أ معادلة هو جذر تربيعي ، لأنه في هذه الحالات تكون نتيجة الجذر التربيعي a وحدة، كما هو موضح في المثال الأول. أخيرًا ، كل ما تبقى هو القيام بما يلي:
س = - ك ± √ (ك2 - ج)
لذلك ، هؤلاء المعادلات نتيجتين حقيقة ومميزة ، أو لا توجد نتيجة حقيقية عند C> k2.
على سبيل المثال، احسب جذور x2 + 6 س + 8 = 0.
حل: لاحظ أن 6 = 2 · 3x. ومن ثم ، k = 3 وبالتالي k2 = 9. لذلك ، العدد الذي يجب أن نضيفه في كلا العضوين يساوي 9:
x2 + 6 س + 8 = 0
x2 + 6 س + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6 س + 9 = 9-8
x2 + 6 س + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√ [(x + 3)2] = ± √1
س + 3 = ± 1
س = ± 1 - 3
x '= 1 - 3 = - 2
x '= - 1 - 3 = - 4
في هذه الحالة المعامل a ≠ 1
عندما المعامل اليعطي معادلة من ثانياالدرجة العلمية، يختلف عن 1 ، ما عليك سوى قسمة المعادلة بأكملها على القيمة العددية للمعامل ال ثم تطبيق إحدى الطريقتين السابقتين.
إذن ، في معادلة 2x2 + 32x + 128 = 0 ، لدينا الجذر الفريد يساوي 8 ، للأسباب التالية:
2x2+ 32 ضعفًا + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16 س + 64 = 0
وفي معادلة 3x2 + 18x + 24 = 0 ، لدينا الجذور - 2 و - 4 ، لأن:
3x2 + 18 ضعفًا + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6 س + 8 = 0
بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm