دالة متعددة الحدود: ما هي ، أمثلة ، رسوم بيانية

وظيفة تسمى دالة كثيرة الحدود عندما يكون قانون تكوينها أ متعدد الحدود. تصنف دوال كثيرة الحدود حسب درجة كثير الحدود. على سبيل المثال ، إذا كانت كثيرة الحدود التي تصف قانون تكوين الدالة لها الدرجة الثانية ، فإننا نقول إن هذه دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية.

لحساب القيمة العددية لدالة كثيرة الحدود ، فقط استبدل المتغير بالقيمة المرغوبة، تحويل كثير الحدود إلى تعبير رقمي. في دراسة الدوال متعددة الحدود ، يكون التمثيل الرسومي متكررًا تمامًا. دالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى لها رسم بياني يساوي دائمًا خطًا مستقيمًا. دالة الدرجة الثانية لها رسم بياني يساوي القطع المكافئ.

اقرأ أيضا: ما هي الفروق بين المعادلة والدالة؟

ما هي وظيفة كثيرة الحدود؟

رسم بياني للدالة.

وظيفة F: R → R تُعرف باسم دالة كثيرة الحدود عندما يكون قانون تكوينها متعدد الحدود:

و (س) = أ_لاx^لا + ال_{ن -1}x^{ن -1} + ال_{ن -2}x^{ن -2} +… + ال₂x² + ال₁x + أ₀

على ماذا:

x → هو المتغير.

n → هو ملف عدد طبيعي.

ال_لا، أ_{ن -1}، أ_{ن -2}، … ال₂،ال₁ و ال₀ → معاملات.

المعاملات هي أرقام حقيقية التي تصاحب متغير كثير الحدود.

أمثلة:

• F(س) = س⁵ + 3x⁴ - 3x³ + س² - س + 1

• F(س) = -2x³ + س - 7

• F(س) = س⁹

كيفية تحديد نوع دالة كثيرة الحدود؟

هناك عدة أنواع من وظائف كثيرة الحدود. هي تكون مصنفة حسب درجة كثيرة الحدود. عندما تكون الدرجة 1 ، تُعرف الوظيفة بأنها دالة متعددة الحدود من الدرجة 1 أو دالة متعددة الحدود من الدرجة الأولى ، أو أيضًا دالة أفيني. انظر أدناه للحصول على أمثلة للوظائف من الدرجة 1 إلى الدرجة 6.

نرى أيضا: ما هي وظيفة الحاقن؟

درجة دالة كثيرة الحدود

ما يحدد درجة دالة كثير الحدود هو درجة كثير الحدود ، لذلك يمكننا الحصول على دالة كثيرة الحدود من أي درجة.

• دالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى

لكي تكون دالة كثيرة الحدود إما من الدرجة الأولى أو متعددة الحدود من الدرجة الأولى ، قانون تشكيل الوظيفة يجب أن F(خ) = الفأس + ب، مع a و b عدد حقيقي و a and 0. ال دالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى يُعرف أيضًا باسم وظيفة أفيني.

أمثلة:

• F(س) = 2 س - 3

• F(س) = -x + 4

• F(س) = -3 س

• دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية

لكي تكون دالة كثيرة الحدود متعددة الحدود من الدرجة الثانية أو متعددة الحدود من الدرجة الثانية ، فإن قانون تشكيل الوظيفة يجب أنF(س) = فأس² + ب س + ج، حيث تمثل a و b و c أعدادًا حقيقية و a 0. واحد دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية يمكن أن تُعرف أيضًا باسم دالة تربيعية.

أمثلة:

• F(س) = 2 س² - 3 س + 1

• F(س) = - س² + 2 س

• F(س) = 3 س² + 4

• F(x) = x²

• وظيفة كثيرة الحدود من الدرجة 3

لكي تكون دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة أو متعددة الحدود من الدرجة الثالثة ، فإن قانون تشكيل الوظيفة يجب أنF(س) = ax³ + bx² + cx + d، مع a و b عدد حقيقي و a and 0. يمكن أيضًا تسمية وظيفة الدرجة 3 بالوظيفة التكعيبية.

أمثلة:

• F(س) = 2x³ - 3x² + 2x + 1

• F(س) = -5x³ + 4x² + 2x

• F(س) = 3 س³ + 8 س - 4

• F(س) = -7x³

• وظيفة كثيرة الحدود من الدرجة 4

بالنسبة لكل من دالة كثيرة الحدود من الدرجة 4 وللآخرين ، فإن المنطق هو نفسه.

أمثلة:

• F(س) = 2 س⁴ + x³ - 5x² + 2x + 1

• F(س) = س⁴ + 2x³ - س

• F(س) = س⁴

• وظيفة كثيرة الحدود من الدرجة 5

أمثلة:

• F(س) = س⁵ - 2x⁴ + س³ - 3x² + x + 9

• F(س) = 3 س⁵ + س³ – 4

• F(س) = -x⁵

• دالة متعددة الحدود من الدرجة 6

أمثلة:

• F(س) = 2 س⁶ - 7x⁵ + س⁴ - 5x³ + س² + 2 س - 1

• F(س) = -x⁶ + 3x⁵ + 2x³ + 4x + 8

• F(س) = 3 س⁶ + 2x² + 5x

• F(س) = س⁶

القيمة الرقمية للدالة

معرفة قانون تشكيل الدور F(x) لحساب القيمة العددية لـ احتلال من أجل قيمة لا، فقط احسب قيمة F(لا). لذلك، استبدلنا المتغير في قانون التكوين.

مثال:

نظرا للوظيفة F(x) = x³ + 3x² - 5x + 4 ، نجد القيمة العددية للدالة لـ x = 2.

للعثور على قيمة F(x) عندما x = 2 ، سنفعل F(2).

F(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
F(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
F(2) = 8 + 12 – 10 + 4
F(2) = 20 – 10 + 4
F(2) = 10 + 4
F(2) = 14

يمكننا القول أن صورة الوظيفة أو القيمة العددية للدالة ، عندما تكون x = 2 ، تساوي 14.

نرى أيضا: دالة عكسية - تتكون من معكوس الدالة f (x)

الرسوم البيانية للوظائف متعددة الحدود

لتمثيل في فكرة مبدعة الدالة ، التي نمثلها ، على المحور x ، قيم x ، وصورة F(x) بالنقاط في المستوى. النقاط على الطائرة الديكارتية هي من النوع (لا, F(لا)).

مثال 1:

• F(س) = 2 س - 1

دائمًا ما يكون الرسم البياني لوظيفة من الدرجة الأولى a مستقيم.

المثال 2:

• F(س) = س² - 2 س - 1

يكون الرسم البياني لوظيفة الدرجة الثانية دائمًا a موعظة.

مثال 3:

• F(س) = س³ - س

يُعرف الرسم البياني لوظيفة الدرجة الثالثة بالمكعب.

المساواة في كثيرات الحدود

لكي تتساوى كثيرات الحدود ، من الضروري عند القيام بامتداد المقارنة ما بين أثنين أنت لك مصطلحات، المعاملات هي نفسها.

مثال:

بالنظر إلى كثيرات الحدود التالية p (x) و g (x) ، ومعرفة أن p (x) = g (x) ، أوجد قيمة a و b و c و d.

ص (س) = 2 س³ + 5 س² + 3 س - 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c - 2) x + d

نظرًا لأن كثيرات الحدود هي نفسها ، لدينا ما يلي:

الفأس³ = 2x³
(أ + ب) ײ = 5 ײ
(ج - 2) س = 3 س
د = -4

لاحظ أن لدينا بالفعل قيمة d ، حيث أن d = -4. الآن ، بحساب كل من المعاملات ، علينا أن:

الفأس³ = 2x³
أ = 2

بمعرفة قيمة a ، لنجد قيمة b:

(أ + ب) ײ = 5 ײ
أ + ب = 5

أ = 2

2 + ب = 5
ب = 5 - 2
ب = 3

إيجاد قيمة c:

(ج - 2) س = 3 س
ج - 2 = 3
ج = 3 + 2
ج = 5

نرى أيضا: معادلة متعددة الحدود - معادلة تتميز بوجود كثير حدود يساوي 0

عمليات كثيرة الحدود

بالنظر إلى كثيرات الحدود ، من الممكن إجراء عمليات علاوة على ذلك الطرح والضرب بين هذه المصطلحات الجبرية.

• إضافة

يتم حساب إضافة اثنين من كثيرات الحدود بواسطة مجموع أنتصأيدي مماثلة. لكي يتشابه المصطلحان ، يجب أن يكون الجزء الحرفي (الحرف مع الأس) هو نفسه.

مثال:

لنفترض أن p (x) = 3x² + 4x + 5 and q (x) = 4x² - 3x + 2 ، احسب قيمة p (x) + q (x).

3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2

إبراز المصطلحات المتشابهة:

3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2

الآن دعنا نضيف معاملات المصطلحات المتشابهة:

(3 + 4) ײ + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7

• الطرح متعدد الحدود

الطرح مشابه جدًا للجمع ، ومع ذلك ، قبل إجراء العملية ، نكتب كثير الحدود المعاكس.

مثال:

البيانات: p (x) = 2x² + 4x + 3 and q (x) = 5x² - 2x + 1 ، احسب p (x) - q (x).

كثير الحدود المعاكس لـ q (x) هو -q (x) ، وهو ليس أكثر من كثير الحدود q (x) مع عكس كل من المصطلحات.

ف (س) = 5 س² - 2 س + 1

-q (x) = -5x² + 2x - 1

لذلك سوف نحسب:

2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1

عند تبسيط المصطلحات المتشابهة ، لدينا:

(2-5) ײ + (4 + 2) × + (3-1)
-3 ײ + 6 × + 2

• الضرب متعدد الحدود

يتطلب ضرب كثير الحدود تطبيق خاصية التوزيع، أي نضرب كل حد من كثير الحدود الأول في كل حد من الحد الثاني.

مثال:

(x + 1) · (x² + 2x - 2)

بتطبيق خاصية التوزيع علينا:

x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)

x³ + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2

x³ + 3x² - 4

• تقسيم متعدد الحدود

لحساب قسمة بين اثنين من كثيرات الحدود، نستخدم نفس الطريقة التي نستخدمها لحساب قسمة رقمين ، طريقة المفاتيح.

مثال:

احسب p (x): q (x) مع العلم أن p (x) = 15x² + 11x + 2 و q (x) = 3x + 1.

اقرأ أيضا: جهاز Briot-Ruffini Handy - طريقة أخرى لحساب تقسيم كثيرات الحدود

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - يحدد قانون التكوين تكلفة الإنتاج اليومية لصناعة قطع غيار السيارات لإنتاج كمية معينة من الأجزاء F(x) = 25x + 100 ، حيث x هو عدد القطع المنتجة في ذلك اليوم. مع العلم أنه تم إنتاج 80 قطعة في يوم معين ، كانت تكلفة إنتاج هذه القطع كما يلي:

أ) 300 ريال برازيلي

ب) 2100 ريال برازيلي

ج) 2000 BRL

د) 1800 ريال برازيلي

هـ) BRL 1250

القرار

البديل ب

F(80) = 25 · 80 + 100
F(80) = 2000 + 100
F(80) = 2100

السؤال 2 - درجة الدالة h (x) = F(خ) · ز(خ) ، مع العلم أن F (x) = 2x² + 5x و ز(س) = 4x - 5 ، هو:

إلى 1

ب) 2

ج) 3

د) 4

هـ) 5

القرار

البديل ج

أولًا ، سنجد كثير الحدود الناتج عن الضرب بين F(X و ز(خ):

F(خ) · ز(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
F(خ) · ز(س) = 8x³ - 10x² + 20x - 25x

لاحظ أن هذه كثيرة الحدود من الدرجة 3 ، وبالتالي فإن درجة الدالة h (x) هي 3.

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm