وظيفة تسمى دالة كثيرة الحدود عندما يكون قانون تكوينها أ متعدد الحدود. تصنف دوال كثيرة الحدود حسب درجة كثير الحدود. على سبيل المثال ، إذا كانت كثيرة الحدود التي تصف قانون تكوين الدالة لها الدرجة الثانية ، فإننا نقول إن هذه دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية.
لحساب القيمة العددية لدالة كثيرة الحدود ، فقط استبدل المتغير بالقيمة المرغوبة، تحويل كثير الحدود إلى تعبير رقمي. في دراسة الدوال متعددة الحدود ، يكون التمثيل الرسومي متكررًا تمامًا. دالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى لها رسم بياني يساوي دائمًا خطًا مستقيمًا. دالة الدرجة الثانية لها رسم بياني يساوي القطع المكافئ.
اقرأ أيضا: ما هي الفروق بين المعادلة والدالة؟
ما هي وظيفة كثيرة الحدود؟
![رسم بياني للدالة.](/f/99d64360e520caf64a5ee89b2641757a.jpg)
وظيفة F: R → R تُعرف باسم دالة كثيرة الحدود عندما يكون قانون تكوينها متعدد الحدود:
و (س) = ألاxلا + الن -1xن -1 + الن -2xن -2 +… + ال2x2 + ال1x + أ0
على ماذا:
x → هو المتغير.
n → هو ملف عدد طبيعي.
اللا، أن -1، أن -2، … ال2،ال1 و ال0 → معاملات.
المعاملات هي أرقام حقيقية التي تصاحب متغير كثير الحدود.
أمثلة:
F(س) = س5 + 3x4 - 3x3 + س² - س + 1
F(س) = -2x³ + س - 7
F(س) = س9
كيفية تحديد نوع دالة كثيرة الحدود؟
هناك عدة أنواع من وظائف كثيرة الحدود. هي تكون مصنفة حسب درجة كثيرة الحدود. عندما تكون الدرجة 1 ، تُعرف الوظيفة بأنها دالة متعددة الحدود من الدرجة 1 أو دالة متعددة الحدود من الدرجة الأولى ، أو أيضًا دالة أفيني. انظر أدناه للحصول على أمثلة للوظائف من الدرجة 1 إلى الدرجة 6.
نرى أيضا: ما هي وظيفة الحاقن؟
درجة دالة كثيرة الحدود
ما يحدد درجة دالة كثير الحدود هو درجة كثير الحدود ، لذلك يمكننا الحصول على دالة كثيرة الحدود من أي درجة.
دالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى
لكي تكون دالة كثيرة الحدود إما من الدرجة الأولى أو متعددة الحدود من الدرجة الأولى ، قانون تشكيل الوظيفة يجب أن F(خ) = الفأس + ب، مع a و b عدد حقيقي و a and 0. ال دالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى يُعرف أيضًا باسم وظيفة أفيني.
أمثلة:
F(س) = 2 س - 3
F(س) = -x + 4
F(س) = -3 س
دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية
لكي تكون دالة كثيرة الحدود متعددة الحدود من الدرجة الثانية أو متعددة الحدود من الدرجة الثانية ، فإن قانون تشكيل الوظيفة يجب أنF(س) = فأس² + ب س + ج، حيث تمثل a و b و c أعدادًا حقيقية و a 0. واحد دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية يمكن أن تُعرف أيضًا باسم دالة تربيعية.
أمثلة:
F(س) = 2 س² - 3 س + 1
F(س) = - س² + 2 س
F(س) = 3 س² + 4
F(x) = x²
وظيفة كثيرة الحدود من الدرجة 3
لكي تكون دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة أو متعددة الحدود من الدرجة الثالثة ، فإن قانون تشكيل الوظيفة يجب أنF(س) = ax³ + bx² + cx + d، مع a و b عدد حقيقي و a and 0. يمكن أيضًا تسمية وظيفة الدرجة 3 بالوظيفة التكعيبية.
أمثلة:
F(س) = 2x³ - 3x² + 2x + 1
F(س) = -5x³ + 4x² + 2x
F(س) = 3 س³ + 8 س - 4
F(س) = -7x³
وظيفة كثيرة الحدود من الدرجة 4
بالنسبة لكل من دالة كثيرة الحدود من الدرجة 4 وللآخرين ، فإن المنطق هو نفسه.
أمثلة:
F(س) = 2 س4 + x³ - 5x² + 2x + 1
F(س) = س4 + 2x³ - س
F(س) = س4
وظيفة كثيرة الحدود من الدرجة 5
أمثلة:
F(س) = س5 - 2x4 + س3 - 3x² + x + 9
F(س) = 3 س5 + س3 – 4
F(س) = -x5
دالة متعددة الحدود من الدرجة 6
أمثلة:
F(س) = 2 س6 - 7x5 + س4 - 5x3 + س² + 2 س - 1
F(س) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
F(س) = 3 س6 + 2x² + 5x
F(س) = س6
القيمة الرقمية للدالة
معرفة قانون تشكيل الدور F(x) لحساب القيمة العددية لـ احتلال من أجل قيمة لا، فقط احسب قيمة F(لا). لذلك، استبدلنا المتغير في قانون التكوين.
مثال:
نظرا للوظيفة F(x) = x³ + 3x² - 5x + 4 ، نجد القيمة العددية للدالة لـ x = 2.
للعثور على قيمة F(x) عندما x = 2 ، سنفعل F(2).
F(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
F(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
F(2) = 8 + 12 – 10 + 4
F(2) = 20 – 10 + 4
F(2) = 10 + 4
F(2) = 14
يمكننا القول أن صورة الوظيفة أو القيمة العددية للدالة ، عندما تكون x = 2 ، تساوي 14.
نرى أيضا: دالة عكسية - تتكون من معكوس الدالة f (x)
الرسوم البيانية للوظائف متعددة الحدود
لتمثيل في فكرة مبدعة الدالة ، التي نمثلها ، على المحور x ، قيم x ، وصورة F(x) بالنقاط في المستوى. النقاط على الطائرة الديكارتية هي من النوع (لا, F(لا)).
مثال 1:
F(س) = 2 س - 1
دائمًا ما يكون الرسم البياني لوظيفة من الدرجة الأولى a مستقيم.
![](/f/3f883ae9113a041234870cdd7821d832.jpg)
المثال 2:
F(س) = س² - 2 س - 1
يكون الرسم البياني لوظيفة الدرجة الثانية دائمًا a موعظة.
![](/f/ee7ad9027d86a658e0221be67ed19162.jpg)
مثال 3:
F(س) = س³ - س
يُعرف الرسم البياني لوظيفة الدرجة الثالثة بالمكعب.
![](/f/0292ab3aaefb626e80304db45a9b99ea.jpg)
المساواة في كثيرات الحدود
لكي تتساوى كثيرات الحدود ، من الضروري عند القيام بامتداد المقارنة ما بين أثنين أنت لك مصطلحات، المعاملات هي نفسها.
مثال:
بالنظر إلى كثيرات الحدود التالية p (x) و g (x) ، ومعرفة أن p (x) = g (x) ، أوجد قيمة a و b و c و d.
ص (س) = 2 س³ + 5 س² + 3 س - 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c - 2) x + d
نظرًا لأن كثيرات الحدود هي نفسها ، لدينا ما يلي:
الفأس³ = 2x³
(أ + ب) ײ = 5 ײ
(ج - 2) س = 3 س
د = -4
لاحظ أن لدينا بالفعل قيمة d ، حيث أن d = -4. الآن ، بحساب كل من المعاملات ، علينا أن:
الفأس³ = 2x³
أ = 2
بمعرفة قيمة a ، لنجد قيمة b:
(أ + ب) ײ = 5 ײ
أ + ب = 5
أ = 2
2 + ب = 5
ب = 5 - 2
ب = 3
إيجاد قيمة c:
(ج - 2) س = 3 س
ج - 2 = 3
ج = 3 + 2
ج = 5
نرى أيضا: معادلة متعددة الحدود - معادلة تتميز بوجود كثير حدود يساوي 0
عمليات كثيرة الحدود
بالنظر إلى كثيرات الحدود ، من الممكن إجراء عمليات علاوة على ذلك الطرح والضرب بين هذه المصطلحات الجبرية.
إضافة
يتم حساب إضافة اثنين من كثيرات الحدود بواسطة مجموع أنتصأيدي مماثلة. لكي يتشابه المصطلحان ، يجب أن يكون الجزء الحرفي (الحرف مع الأس) هو نفسه.
مثال:
لنفترض أن p (x) = 3x² + 4x + 5 and q (x) = 4x² - 3x + 2 ، احسب قيمة p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
إبراز المصطلحات المتشابهة:
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
الآن دعنا نضيف معاملات المصطلحات المتشابهة:
(3 + 4) ײ + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7
الطرح متعدد الحدود
الطرح مشابه جدًا للجمع ، ومع ذلك ، قبل إجراء العملية ، نكتب كثير الحدود المعاكس.
مثال:
البيانات: p (x) = 2x² + 4x + 3 and q (x) = 5x² - 2x + 1 ، احسب p (x) - q (x).
كثير الحدود المعاكس لـ q (x) هو -q (x) ، وهو ليس أكثر من كثير الحدود q (x) مع عكس كل من المصطلحات.
ف (س) = 5 س² - 2 س + 1
-q (x) = -5x² + 2x - 1
لذلك سوف نحسب:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
عند تبسيط المصطلحات المتشابهة ، لدينا:
(2-5) ײ + (4 + 2) × + (3-1)
-3 ײ + 6 × + 2
الضرب متعدد الحدود
يتطلب ضرب كثير الحدود تطبيق خاصية التوزيع، أي نضرب كل حد من كثير الحدود الأول في كل حد من الحد الثاني.
مثال:
(x + 1) · (x² + 2x - 2)
بتطبيق خاصية التوزيع علينا:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
x3 + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
تقسيم متعدد الحدود
لحساب قسمة بين اثنين من كثيرات الحدود، نستخدم نفس الطريقة التي نستخدمها لحساب قسمة رقمين ، طريقة المفاتيح.
مثال:
احسب p (x): q (x) مع العلم أن p (x) = 15x² + 11x + 2 و q (x) = 3x + 1.
![](/f/6385fe8371cd95a2854510ccd05a39c0.jpg)
اقرأ أيضا: جهاز Briot-Ruffini Handy - طريقة أخرى لحساب تقسيم كثيرات الحدود
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - يحدد قانون التكوين تكلفة الإنتاج اليومية لصناعة قطع غيار السيارات لإنتاج كمية معينة من الأجزاء F(x) = 25x + 100 ، حيث x هو عدد القطع المنتجة في ذلك اليوم. مع العلم أنه تم إنتاج 80 قطعة في يوم معين ، كانت تكلفة إنتاج هذه القطع كما يلي:
أ) 300 ريال برازيلي
ب) 2100 ريال برازيلي
ج) 2000 BRL
د) 1800 ريال برازيلي
هـ) BRL 1250
القرار
البديل ب
F(80) = 25 · 80 + 100
F(80) = 2000 + 100
F(80) = 2100
السؤال 2 - درجة الدالة h (x) = F(خ) · ز(خ) ، مع العلم أن F (x) = 2x² + 5x و ز(س) = 4x - 5 ، هو:
إلى 1
ب) 2
ج) 3
د) 4
هـ) 5
القرار
البديل ج
أولًا ، سنجد كثير الحدود الناتج عن الضرب بين F(X و ز(خ):
F(خ) · ز(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
F(خ) · ز(س) = 8x³ - 10x² + 20x - 25x
لاحظ أن هذه كثيرة الحدود من الدرجة 3 ، وبالتالي فإن درجة الدالة h (x) هي 3.
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm