ا مثلث باسكال إنها أداة حسابية قديمة جدًا. على مر التاريخ ، تلقت عدة أسماء ، ولكن الأكثر اعتمادًا اليوم هي مثلث حسابي ومثلث باسكال. الاسم الثاني هو تكريم لعالم الرياضيات الذي قدم العديد من المساهمات في دراسة هذا المثلث. يعني أن المثلث هو من اخترعه ، لكنه كان من قام بدراسة أعمق لهذا أداة.
من خلال خصائص مثلث باسكال ، من الممكن بناؤه بشكل منطقي. يبرز أيضًا ملف علاقة مع مجموعات درس في التحليل التوافقي. تتوافق شروط مثلث باسكال أيضًا مع المعاملات ذات الحدين ، وبالتالي فهي مفيدة جدًا لحساب أي نيوتن ذي الحدين.
اقرأ أيضا: جهاز Briot-Ruffini - طريقة لتقسيم كثيرات الحدود
بناء مثلث باسكال
مثلث باسكال يتم إنتاجه من نتيجة التوليفات، ولكن هناك طريقة عملية تسهل طريقة بنائه. يتم حساب الصف الأول والعمود الأول كصف صفر وصفر عمود. يمكننا استخدام العديد من الخطوط حسب الحاجة في هذا البناء ، يمكن أن يكون للمثلث خطوط لا نهائية. المنطق وراء وضع الخطوط هو نفسه دائمًا. بحث:
نحن نعلم ذلك حدود المثلث هي مجموعات، درس في تحليل اندماجي. لاستبدال مثلث باسكال بقيم عددية ، نعلم أن توليفات رقم مع صفر ورقم مع نفسه تساوي دائمًا 1. لذلك ، فإن القيمتين الأولى والأخيرة هي دائمًا 1.
للعثور على الآخرين ، نبدأ بالسطر 2 ، حيث أن السطر 0 والخط 1 مكتمل بالفعل. في السطر 2 ، للعثور على مجموعة 2 إلى 1 ، في السطر أعلاه ، أي في السطر 1 ، دعنا نضيف المصطلح أعلاه في نفس العمود والمصطلح فوقه في العمود السابق ، كما هو موضح في الصورة :
بعد بناء الخط 2 ، يمكن بناء السطر 3 بتنفيذ نفس الإجراء.
بالاستمرار في هذا الإجراء ، سنجد جميع المصطلحات - في هذه الحالة ، حتى السطر 5 - ولكن من الممكن بناء أكبر عدد ممكن من الخطوط حسب الضرورة.
خصائص مثلث باسكال
هناك بعض خصائص مثلث باسكالبسبب الانتظام في بنائه. هذه الخصائص مفيدة للعمل مع المجموعات ، وبناء خطوط المثلث نفسها ، ومجموع الخطوط والأعمدة والأقطار.
الملكية الأولى
الخاصية الأولى كانت تلك التي استخدمناها لبناء المثلث. لذلك أوجد حدًا في مثلث باسكال، ما عليك سوى إضافة المصطلح الموجود في الصف أعلاه والعمود نفسه بالمصطلح الموجود في العمود والصف الذي يسبقه. يمكن تمثيل هذه الخاصية على النحو التالي:
تُعرف هذه الخاصية باسم علاقة ستيفل ومن المهم تسهيل بناء المثلث وإيجاد قيم كل خط.
الملكية الثانية
يتم حساب مجموع كل المصطلحات في صف واحد من خلال:
سلا=2لاعلى ماذا لا هو رقم السطر.
أمثلة:
مع هذه الخاصية ، من الممكن أن تعرف مجموع كل الشروط على سطر دون الحاجة بالضرورة إلى بناء مثلث باسكال. مجموع السطر 10 ، على سبيل المثال ، يمكن حسابه بـ 210 = 1024. على الرغم من عدم معرفة جميع المصطلحات ، إلا أنه من الممكن بالفعل معرفة قيمة مجموع السطر بأكمله.
الملكية الثالثة
مجموع المصطلحات التي تسلسل من بداية عمود معين ل تصل إلى خط معين لا هو نفس المصطلح الموجود على الخط ن +1 الظهر والعمود ص +1 لاحقًا ، كما هو موضح أدناه:
الملكية الرابعة
مجموع القطر الذي يبدأ في العمود 0 وينتقل إلى المصطلح في العمود p والصف n يساوي المصطلح في نفس العمود (p) ، ولكن في الصف أدناه (n + 1) ، كما هو موضح في الصورة :
العقار الخامس
يوجد تماثل في خطوط مثلث باسكال. المصطلحان الأول والثاني متساويان ، والحدان الثاني وما قبل الأخير متساويان ، وهكذا.
مثال:
السطر 6: 1615 20 156 1.
لاحظ أن المصطلحات تساوي اثنين إلى اثنين ، باستثناء المصطلح المركزي.
نرى أيضا: تقسيم متعدد الحدود: كيف نحلها؟
ذات الحدين لنيوتن
نحدد نيوتن ذات الحدين أ قوة واحد متعدد الحدود الذي له فترتين. يرتبط حساب ذات الحدين بمثلث باسكال ، والذي يصبح آلية لحساب ما نسميه المعاملات ذات الحدين. لحساب ذات الحدين ، نستخدم الصيغة التالية:
لاحظ أن قيمة الأس ال يتناقص حتى يصبح مساويًا في الفصل الأخير ال0. نعلم أن كل رقم مرفوع إلى 0 يساوي 1 ، ومن هنا جاء المصطلح ال لا يظهر في المصطلح الأخير. لاحظ أيضًا أن الأس ب يبدأ ب ب0, هكذا ب لا يظهر في الفصل الأول ويزيد حتى بلوغه بلا، في الفصل الأخير.
علاوة على ذلك ، فإن الرقم الذي يصاحب كل مصطلح هو ما نسميه المعامل - يُعرف في هذه الحالة بمعامل ذي الحدين. لفهم كيفية حل هذا النوع من ذات الحدين بشكل أفضل ، قم بالوصول إلى نصنا: ذات الحدين لنيوتن.
معامل ذو الحدين
المعامل ذو الحدين ليس أكثر من المجموعة ، والتي يمكن حسابها باستخدام الصيغة:
ومع ذلك ، لتسهيل حساب ذات الحدين لنيوتن ، من الضروري استخدام مثلث باسكال ، لأنه يعطينا نتيجة الجمع بشكل أسرع.
مثال:
لإيجاد نتيجة المعامل ذي الحدين ، لنجد قيم الصف 5 في مثلث باسكال ، وهي {1،5،10،10،5،1}.
(س + ص)5= 1x5+ 5x4ص + 10x3ذ2+ 10x2ذ3 + 5xy4+ 1 س5
ببساطة:
(س + ص)5= س5+ 5x4ص + 10x3ذ2+ 10x2ذ3 + 5xy4+ ص5
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - قيمة التعبير أدناه؟
أ) 8
ب) 16
ج) 2
د) 32
هـ) 24
الدقة
البديل أ.
بإعادة تجميع القيم الإيجابية والسلبية ، علينا:
لاحظ أننا نحسب عملية الطرح بين السطر 4 والخط 3 لمثلث باسكال. بالملكية ، نعلم أن:
س4 = 24 = 16
س3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
السؤال 2 - ما هي قيمة التعبير أدناه؟
أ) 32
ب) 28
ج) 256
د) 24
هـ) 54
الدقة
البديل ب.
لاحظ أننا نضيف المصطلحات من العمود 1 في مثلث باسكال إلى الصف 7 ، ثم إلى الصف الثالث الخاصية ، قيمة هذا المجموع تساوي المصطلح الذي يشغل الصف 7 + 1 والعمود 1 + 1 ، أي الصف 8 ، العمود 2. نظرًا لأننا نريد قيمة واحدة فقط ، فإن إنشاء مثلث باسكال بالكامل ليس مناسبًا.
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm