الدوال المثلثية للقوس المزدوج

ضع في اعتبارك قوسًا للمحيط المثلثي قياسه 45 درجة ، وقوسه المزدوج هو 90 درجة قوسًا ، لكن هذا ليس كذلك يعني أن قيمة الدوال المثلثية (الجيب وجيب التمام والظل) للقوس المزدوج هي ضعف قيمة القوس ، من خلال مثال:
إذا كان القوس يساوي 30 درجة ، فسيكون قوسك المزدوج 60 درجة. Sin 30 ° = 1/2 ، sin 60 ° = √3 / 2 ، لذلك ندرك أنه على الرغم من أن 60 درجة هي ضعف 30 درجة ، فإن الخطيئة 60 درجة ليست خطيئة مزدوجة 30 درجة. يمكننا تطبيق نفس الموقف مع العديد من الأقواس والوظائف المثلثية الأخرى ، لكننا سنصل إلى نفس النتيجة.
بشكل عام ، ضع في اعتبارك أي قوس قياس β ، سيكون قوسه المزدوج 2β ، لذلك ، sin β ≠ sin 2β ، أي sin 2β ≠ 2. الخطيئة β.
وبالتالي ، لإيجاد قيمة الدوال المثلثية للقوس المزدوج (sin 2β و cos 2β و tg 2β) علينا اتباع بعض العلاقات بين القوس β وقوسه المزدوج 2β.
سيتم إجراء هذه العلاقات من خلال الدوال المثلثية لإضافة القوس. أنظر كيف:
• كوس 2β
عند إضافة الأقواس ، فإن cos 2β يساوي:
cos 2β = cos (β +) = كوس β. كوس β - الخطيئة β. الخطيئة β
الانضمام إلى الشروط المماثلة سيكون لدينا:
cos 2β = cos (β +) = كوس² β - الخطيئة

² β
لذلك ، سيتم حساب cos 2β باستخدام الصيغة التالية:
كوس 2β = كوس² β - الخطيئة² β
• سين 2β
عند إضافة الأقواس ، فإن الخطيئة 2β تساوي:
Sen 2β = sin (β + β) = sin β. cos β + sin β. كوس β
بوضع مصطلحات مماثلة في الدليل ، سيكون لدينا:
سين 2β = خطيئة (β + β) = 2. الخطيئة β. كوس β
لذلك ، سيتم حساب الخطيئة 2β باستخدام الصيغة التالية:
سين 2β = 2. الخطيئة β. كوس β
• tg 2β
وفقًا لإضافة الأقواس ، فإن tg 2β يساوي:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 - tg x. tg β
الانضمام إلى الشروط المماثلة سيكون لدينا:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ 
1 - tg²β
لذلك ، سيتم حساب tg 2β باستخدام الصيغة التالية:
tg 2β = 2 tgβ 
1 - tg²β

بواسطة دانييل دي ميراندا
تخرج في الرياضيات
فريق مدرسة البرازيل

علم المثلثات - رياضيات - مدرسة البرازيل

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm