التقليب هو تقنية عد تُستخدم لتحديد عدد الطرق المتاحة لترتيب عناصر مجموعة محدودة. إن إجراء التبادل يعني إجراء تبادل ، وفي مسائل التوافقية ، يعني ذلك تبادل عناصر المكان ، مع مراعاة ترتيبها.
هذه التقنيات هي جزء من مجال الرياضيات يسمى التحليل التوافقي ، والذي يهدف إلى معرفة وإحصاء الطرق المختلفة لتنظيم المجموعات وعناصرها. التقليب البسيط والعناصر المتكررة يعالجان هذه الفئة من المشاكل.
تبديل بسيط
التقليب البسيط هو ترتيب عناصر مجموعة محدودة ، عندما تكون العناصر لا تتكرر، متميزة. يتم استخدامه لتحديد كمية هذه الأنواع.
الكميه من التباديل لمجموعة من العناصر n يساوي n! (يقرأ n عاملي).
صيغة تحديد عدد التبديلات البسيطة هي
ضع في اعتبارك مجموعة تحتوي على n من العناصر. لتنظيمهم في قائمة انتظار ، نحتاج إلى اختيار أول واحد ، ولهذا لدينا عدد ن من الاحتمالات. لاختيار الخيار الثاني ، لدينا احتمالات (n-1) ، واحدة أقل ، لأننا استخدمنا بالفعل خيارًا عند اختيار الخيار الأول. تستمر هذه العملية حتى يبقى عنصر واحد فقط.
لتحديد العدد الإجمالي للتبديلات ، نقوم بضرب عدد الاحتمالات الموجودة في اختيار كل عنصر. هكذا:
يسمى التعبير أعلاه عاملي n ونستخدم الرمز لا!.
تعلم المزيد عن عاملي هنا.
مثال:
الطرق المختلفة لتنظيم حروف الكلمة تسمى الجناس الناقصة. كم عدد الجناس الناقصة لكلمة DUCK؟
هذه هي الاحتمالات:
لذلك ، نظرًا لأن كلمة PATO بها 4 أحرف ، فيجب علينا ذلك
إذن ، هناك 24 تباديلًا بسيطًا لكلمة DUCK.
تمارين التقليب البسيطة
السؤال رقم 1
احسب قيمة .
السؤال 2
ضع في اعتبارك قائمة انتظار الأشخاص الذين يأتون أولاً يخدمون أولاً حيث يوجد ستة أشخاص في أي وقت. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها ترتيب هؤلاء الأشخاص من الأول إلى الأخير؟
كل نموذج طلب هو تبديل بسيط ، لأن الأفراد فريدون ولا يكررون أنفسهم. إذن ، مع ستة أشخاص ، الإجابة هي تبديل بـ 6 عناصر.
السؤال 3
فكر في كلمة FORK وأجب عن الأسئلة التالية؟
أ) كم عدد الجناس الناقصة لكلمة FORK؟
نظرًا لعدم تكرار الأحرف ، فهذه حالة تبديل بسيطة مكونة من 5 عناصر.
ب) كم عدد الجناس الناقصة التي تبدأ بالحرف أ؟
في هذه الحالة ، نصلح الحرف A في البداية ونحسب التباديل بالأحرف GRFO ، وهي تباديل من 4 عناصر.
1 احتمالية لحرف A x .
ج) كم عدد الجناس الناقصة الموجودة إذا كانت حروف العلة دائمًا بجوار بعضها البعض؟
أحد الاحتمالات هو G R F A O.
هناك ثلاث طرق لترتيب الحروف الساكنة. P3 = 3 × 2 × 1 = 6
هناك طريقتان لترتيب حروف العلة. P2 = 2 × 1 = 2
لا تزال هناك طريقتان أخريان لتنظيم المجموعات (الحروف الساكنة والمتحركة) فيما بينها. P2 = 2 × 1 = 2
الآن فقط اضرب النتائج.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
لذلك يوجد 24 جناسًا حيث تكون حروف العلة دائمًا معًا.
التقليب مع التكرار
يحدث التبديل بالعناصر المتكررة عندما يكون بعضها متساويًا في مجموعة من العناصر n.
في صيغة تحديد عدد التباديل مع التكرار ، نقسم عاملي العدد الإجمالي n للعناصر على حاصل ضرب مضروب العناصر المكررة.
هو عدد تباديل n من العناصر.
هو عدد العناصر من كل نوع التي تتكرر.
هو مضروب العدد الإجمالي للعناصر ن.
أمثلة
دعونا نحدد عدد التباديل لكلمة EGG. لتسهيل الأمر ، دعنا نلون الحروف. دعونا نلقي نظرة على الجناس الناقصة لكلمة EGG.
يتم إعطاء عدد التباديل البسيط مع 3 عناصر بواسطة
ومع ذلك ، تتكرر بعض التباديل ولا يمكننا عدها مرتين. لهذا يجب علينا قسمة قيمة (لأن الكلمة لها ثلاثة أحرف) ، بواسطة
(لأن الحرف O يتكرر مرتين).
وبالتالي ، فإن عدد التباديل لأحرف كلمة OVO يساوي 3.
لنلقِ نظرة على هذا المثال الآخر حيث سنحدد عدد التباديل لأحرف كلمة BANANA.
أين:
يعني التقليب بـ 6 عناصر حيث يتكرر الحرفان A و N.
3! للحرف A يكرر نفسه ثلاث مرات.
2! للحرف N يتكرر مرتين.
نصيحة لتسهيل الحساب هي تطوير 6! حتى تصل إلى 3! ، التبسيط بالمقام. شاهد التطور.
وبالتالي ، فإن عدد التباديل للأحرف في كلمة BANANA يساوي 60.
ربما تكون مهتمًا بهذه المحتويات في التحليل التوافقي:
التحليل التوافقي
تمارين على التحليل التوافقي
