المصفوفات: تمارين معلقة ومحللة

المصفوفة عبارة عن جدول مكون من أعداد حقيقية ، مرتبة في صفوف وأعمدة. تسمى الأرقام التي تظهر في المصفوفة بالعناصر.

استفد من أسئلة امتحان القبول التي تم حلها والتعليق عليها لإزالة كل شكوكك بشأن هذا المحتوى.

حل مشاكل امتحان القبول

1) يونيكامب - 2018

لنفترض أن a و b رقمان حقيقيان بحيث تكون المصفوفة A = يفي بالمعادلة أ²= aA + bI ، حيث أنا مصفوفة وحدة الرتبة 2. إذن ، حاصل ضرب AB يساوي

أ) −2.
ب) −1.
ج) 1.
د) 2.

انظر للاجابة

لمعرفة قيمة المنتج a.b ، نحتاج أولاً إلى معرفة قيمة a و b. فلننظر إذن إلى المعادلة الواردة في المسألة.

لحل المعادلة ، دعنا نحسب قيمة A²، والذي يتم بضرب المصفوفة A في نفسها ، أي:

تتم هذه العملية بضرب صفوف المصفوفة الأولى في أعمدة المصفوفة الثانية ، كما هو موضح أدناه:

بهذه الطريقة المصفوفة أ² انها نفس:

بالنظر إلى القيمة التي وجدناها للتو وتذكر أنه في مصفوفة الهوية ، تكون عناصر القطر الرئيسي مساوية لـ 1 والعناصر الأخرى تساوي 0 ، ستكون المعادلة:

علينا الآن ضرب المصفوفة A في الرقم a ومصفوفة الوحدة في الرقم b.

تذكر أنه لضرب رقم في مصفوفة ، نضرب الرقم في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

وبالتالي ، فإن مساواتنا ستكون مساوية لـ:

بإضافة المصفوفتين ، لدينا:

مصفوفتان متساويتان عندما تتساوى جميع العناصر المقابلة. بهذه الطريقة يمكننا كتابة النظام التالي:

عزل a في المعادلة الثانية:

بالتعويض عن القيمة الموجودة لـ a في المعادلة الأولى ، نجد قيمة b:

2 + ب = 1
ب = 1-2
ب = -1

وبالتالي ، سيتم تقديم المنتج بواسطة:

ال. ب = - 1. 2
ال. ب = - 2

البديل: أ) 2.

2) Unesp - 2016

يتم تمثيل النقطة P ، من إحداثيات (x ، y) للمستوى الديكارتي المتعامد ، بواسطة مصفوفة العمود. ، وكذلك مصفوفة العمود يمثل ، في المستوى الديكارتي المتعامد ، النقطة P من الإحداثيات (x ، y). وهكذا ، نتيجة ضرب المصفوفة هي مصفوفة عمود ، في المستوى الديكارتي المتعامد ، تمثل بالضرورة نقطة

أ) دوران 180 درجة لـ P في اتجاه عقارب الساعة ، ومركز عند (0 ، 0).
ب) دوران P خلال 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، مع مركز عند (0 ، 0).
ج) متماثل P بالنسبة لمحور x الأفقي.
د) تناظر P بالنسبة لمحور y العمودي.
ه) دوران P خلال 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة ، ومع المركز عند (0 ، 0).

انظر للاجابة

يتم تمثيل النقطة P بواسطة مصفوفة ، بحيث يتم الإشارة إلى الإحداثي (x) بواسطة العنصر a.₁₁ والإحداثيات (ص) بالعنصر أ₂₁ من المصفوفة.

للعثور على الموضع الجديد للنقطة P ، يجب علينا حل عملية ضرب المصفوفات المقدمة وستكون النتيجة:

تمثل النتيجة الإحداثي الجديد للنقطة P ، أي أن الإحداثي السيني يساوي -y والإحداثي يساوي x.

لتحديد التحول الذي تم إجراؤه بواسطة موضع النقطة P ، دعنا نمثل الموقف في المستوى الديكارتي ، كما هو موضح أدناه:

لذلك ، انتقلت النقطة P ، التي كانت تقع في البداية في الربع الأول (الإحداثي الإيجابي والإحداثيات) ، إلى الربع الثاني (الإحداثي السالب والإحداثيات الإيجابية).

عند الانتقال إلى هذا الموضع الجديد ، تم تدوير النقطة عكس اتجاه عقارب الساعة ، كما هو موضح في الصورة أعلاه بالسهم الأحمر.

ما زلنا بحاجة إلى تحديد قيمة زاوية الدوران.

من خلال توصيل الموضع الأصلي للنقطة P بمركز المحور الديكارتي وفعل الشيء نفسه فيما يتعلق بموضعها الجديد P '، لدينا الموقف التالي:

لاحظ أن المثلثين الموضحين في الشكل متطابقان ، أي أن لهما نفس القياسات. وبهذه الطريقة ، فإن زواياهم هي نفسها.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن الزاويتين α و متكاملتان ، حيث أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلثات يساوي 180º وبما أن المثلث قائم الزاوية ، فإن مجموع هاتين الزاويتين يساوي 90º.

وبالتالي ، فإن زاوية دوران النقطة ، المشار إليها في الشكل بواسطة β ، يمكن أن تساوي 90 درجة فقط.

بديل: ب) دوران 90 درجة لـ P عكس اتجاه عقارب الساعة ، مع مركز عند (0 ، 0).

3) يونيكامب - 2017

بما أن a عدد حقيقي ، ضع في اعتبارك المصفوفة A = . لذلك²⁰¹⁷ انها نفس
ال)
ب)
ç)
د)

انظر للاجابة

أولًا ، دعنا نحاول إيجاد نمط للقوى ، حيث إن ضرب المصفوفة A في نفسها 2017 مرات يتطلب جهدًا كبيرًا.

تذكر أنه في عملية ضرب المصفوفات ، يتم إيجاد كل عنصر عن طريق إضافة نتائج ضرب العناصر الموجودة في الصف الأول في العناصر الموجودة في العمود الآخر.

لنبدأ بحساب A.²:

كانت النتيجة مصفوفة الوحدة ، وعندما نضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة ، ستكون النتيجة هي المصفوفة نفسها.

لذلك ، فإن قيمة A³ سيساوي المصفوفة أ نفسها ، لأن أ³ = أ². ال.

ستتكرر هذه النتيجة ، أي عندما يكون الأس زوجيًا ، تكون النتيجة مصفوفة الوحدة وعندما تكون فردية ، ستكون المصفوفة أ نفسها.

نظرًا لأن عام 2017 غريب ، فستكون النتيجة مساوية للمصفوفة A.

البديل: ب)

4) UFSM - 2011

يمثل الرسم البياني المعطى السلسلة الغذائية المبسطة لنظام بيئي معين. تشير الأسهم إلى الأنواع التي تتغذى عليها الأنواع الأخرى. نعزو القيمة 1 عندما يتغذى أحد الأنواع على نوع آخر والصفر ، وعندما يحدث العكس ، لدينا الجدول التالي:

المصفوفة أ = (أ_{اي جاي})_4x4، المرتبط بالجدول ، قانون التدريب التالي:

انظر للاجابة

نظرًا لأن رقم الصف يشار إليه بواسطة i ورقم العمود المشار إليه بواسطة j ، وبالنظر إلى الجدول ، نلاحظ أنه عندما يكون i يساوي j ، أو i أكبر من j ، تكون النتيجة صفرًا.

المواضع التي يشغلها 1 هي تلك التي يكون فيها رقم العمود أكبر من رقم السطر.

البديل: ج)

5) Unesp - 2014

ضع في اعتبارك معادلة المصفوفة A + BX = X + 2C ، التي لا تعرفها المصفوفة X وجميع المصفوفات مربعة الترتيب n. الشرط الضروري والكافي للحصول على حل واحد لهذه المعادلة هو:

أ) B - I ≠ O ، حيث أنا مصفوفة هوية الرتبة n و O هي المصفوفة الصفرية للرتبة n.
ب) ب غير قابل للعكس.
ج) B ≠ O ، حيث O هي المصفوفة الصفرية للرتبة n.
د) ب - أنا مقلوب ، حيث أنا مصفوفة هوية الأمر n.
ه) A و C قابلان للانعكاس.

انظر للاجابة

لحل معادلة المصفوفة ، علينا عزل X على أحد جانبي علامة التساوي. للقيام بذلك ، دعنا نطرح في البداية المصفوفة A في كلا الطرفين.

أ - أ + بكس = س + 2 ج - أ
BX = X + 2C - A

الآن ، لنطرح X على كلا الطرفين أيضًا. في هذه الحالة ستكون المعادلة:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

بما أنني مصفوفة الوحدة ، فعندما نضرب المصفوفة في المتطابقة ، تكون النتيجة هي المصفوفة نفسها.

لذلك ، لعزل X ، يجب علينا الآن ضرب كلا جانبي علامة التساوي في معكوس المصفوفة (B-I) ، أي:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (ب - أنا) ^{- 1}. (2 ج - أ)

تذكر أنه عندما تكون المصفوفة قابلة للعكس ، فإن حاصل ضرب المصفوفة على المعكوس يساوي مصفوفة الوحدة.
X = (ب - أنا) ^{- 1}. (2 ج - أ)

وبالتالي ، سيكون للمعادلة حل عندما يكون B - I قابلاً للعكس.

البديل: د) ب - أنا مقلوب ، حيث أنا مصفوفة وحدة النظام n.

6) العدو - 2012

سجل الطالب الدرجات نصف الشهرية لبعض مواده في جدول. وأشار إلى أن الإدخالات العددية في الجدول شكلت مصفوفة 4x4 ، وأنه يمكنه حساب المتوسطات السنوية لهذه التخصصات باستخدام حاصل ضرب المصفوفات. كان لجميع الاختبارات نفس الوزن ، والجدول الذي حصل عليه موضح أدناه

للحصول على هذه المتوسطات ، قام بضرب المصفوفة التي تم الحصول عليها من الجدول في

انظر للاجابة

يتم حساب المتوسط ​​الحسابي عن طريق إضافة جميع القيم والقسمة على عدد القيم.

وبالتالي ، يجب على الطالب إضافة درجات 4 bimesters وقسمة النتيجة على 4 أو ضرب كل درجة في 1/4 وإضافة جميع النتائج.

باستخدام المصفوفات ، يمكننا تحقيق نفس النتيجة عن طريق القيام بضرب المصفوفة.

ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أنه من الممكن فقط ضرب مصفوفتين عندما يكون عدد الأعمدة في إحداهما مساويًا لعدد الصفوف في الأخرى.

نظرًا لأن مصفوفة الملاحظات تتكون من 4 أعمدة ، فإن المصفوفة التي سنضربها يجب أن تتكون من 4 صفوف. وبالتالي ، يجب أن نضرب في مصفوفة العمود:

بديل: و

7) فيوفست - 2012

ضع في اعتبارك المصفوفة على ماذا ال هو رقم حقيقي. مع العلم أن أ يعترف بالعكس أ^-1 الذي هو العمود الأول ، مجموع عناصر القطر الرئيسي لـ A^-1 انها نفس

أ) 5
ب) 6
ج) 7
د) 8
هـ) 9

انظر للاجابة

ضرب المصفوفة في معكوسها يساوي مصفوفة الهوية ، لذا يمكننا تمثيل الموقف بالعملية التالية:

بحل عملية ضرب الصف الثاني من المصفوفة الأولى بالعمود الأول من المصفوفة الثانية ، لدينا المعادلة التالية:

(إلى 1). (2 أ - 1) + (أ + 1). (- 1) = 0
الثاني² - أ - 2 أ + 1 + (-أ) + (-1) = 0
الثاني² - الرابع = 0
الثانية (أ - 2) = 0
أ - 2 = 0
أ = 2

بالتعويض عن قيمة a في المصفوفة ، لدينا:

الآن بعد أن عرفنا المصفوفة ، دعنا نحسب محددها:

وبالتالي ، سيكون مجموع القطر الرئيسي يساوي 5.

البديل: أ) 5

لمعرفة المزيد ، راجع أيضًا:

• المصفوفات
• المحددات
• حكم ساروس
• نظرية لابلاس
• مصفوفة منقول