علم المثلثات هو موضوع مهم في الرياضيات يجعل من الممكن معرفة الجوانب والزوايا في مثلث قائم الزاوية ، من خلال الجيب وجيب التمام والظل ، بالإضافة إلى الدوال المثلثية الأخرى.
لتحسين دراستك وتوسيع معرفتك ، اتبع قائمة 8 تمارين ، بالإضافة إلى 4 أسئلة لامتحان القبول ، تم حلها جميعها خطوة بخطوة.
التمرين 1
عند ملاحظة ظل مبنى على الأرض في الصباح ، وجد أحد الأشخاص أنه كان قياسه 63 مترًا عندما صنعت أشعة الشمس زاوية 30 درجة مع السطح. بناءً على هذه المعلومات ، احسب ارتفاع المبنى.
الإجابة الصحيحة: حوالي 36.37 م.
يحدد المبنى والظل وشعاع الشمس مثلثًا قائمًا. باستخدام الزاوية 30 درجة والظل ، يمكننا تحديد ارتفاع المبنى.
نظرًا لأن ارتفاع المبنى هو h ، فلدينا:
تمرين 2
على محيط بقطر 3 ، يشكل الجزء AC ، المسمى الوتر ، زاوية 90 درجة مع وتر آخر CB بنفس الطول. ما هو مقياس الأوتار؟
الإجابة الصحيحة: طول الحبل 2.12 سم.
نظرًا لأن المقطعين AC و CB يشكلان زاوية 90 درجة ولهما نفس الطول ، فإن المثلث المتشكل متساوي الساقين وزوايا القاعدة متساوية.
نظرًا لأن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة ولدينا بالفعل زاوية 90 درجة ، فهناك 90 درجة أخرى متبقية ليتم تقسيمها بالتساوي بين زاويتين أساسيتين. وبالتالي ، فإن قيمة هذه تساوي 45 درجة لكل منهما.
بما أن القطر يساوي 3 سم ، فإن نصف القطر يساوي 1.5 سم ويمكننا استخدام جيب تمام 45 درجة لتحديد طول الخيط.
التمرين 3
يقترب دراج يشارك في بطولة من خط النهاية في أعلى منحدر. يبلغ الطول الإجمالي لهذا الجزء الأخير من الاختبار 60 م والزاوية المتكونة بين المنحدر والأفقي 30 درجة. بمعرفة ذلك ، احسب الارتفاع الرأسي الذي يحتاج راكب الدراجة أن يتسلقه.
الإجابة الصحيحة: الارتفاع 30 م.
استدعاء الارتفاع h ، لدينا:
التمرين 4
يتكون الشكل التالي من ثلاثة مثلثات حيث يحدد الارتفاع h زاويتين قائمتين. قيم العنصر هي:
α = 30°
β = 60°
ح = 21
أوجد قيمة أ + ب.
الإجابة الصحيحة:
يمكننا تحديد قياسات الجزأين أ وب باستخدام مماسات الزوايا المعطاة.
حساب:
حساب ب:
هكذا،
التمرين 5
أقلعت طائرة من المدينة "أ" وحلقت لمسافة 50 كم في خط مستقيم حتى هبطت في المدينة "ب". بعد ذلك ، حلقت مسافة 40 كم أخرى ، وهذه المرة متجهة نحو المدينة د. هذان الطريقان بزاوية 90 درجة مع بعضهما البعض. ومع ذلك ، وبسبب الظروف الجوية غير المواتية ، تلقى الطيار اتصالاً من برج المراقبة يبلغه بأنه لا يستطيع الهبوط في المدينة D وأنه يجب عليه العودة إلى المدينة أ.
من أجل القيام بالدوران على شكل حرف U من النقطة C ، سيتعين على الطيار أن يدور في كم درجة جهة اليمين؟
انصح:
الخطيئة 51 درجة = 0.77
كوس 51 درجة = 0.63
تان 51 درجة = 1.25
الإجابة الصحيحة: يجب أن يستدير الطيار بزاوية 129 درجة جهة اليمين.
عند تحليل الشكل ، نرى أن المسار يشكل مثلثًا قائمًا.
دعنا نسمي الزاوية التي نبحث عنها W. الزاويتان W و Z مكملتان ، أي أنهما تشكلان زاوية ضحلة 180 درجة.
وهكذا ، W + Z = 180 درجة.
W = 180 - Z (المعادلة 1)
مهمتنا الآن هي تحديد الزاوية Z ، ومن أجل ذلك ، سنستخدم ظلها.
يجب أن نسأل أنفسنا: ما الزاوية التي يكون ظلها 1.25؟
تعطينا المسألة هذه البيانات ، tan 51 ° = 1.25.
يمكن العثور على هذه القيمة أيضًا في جدول مثلثي أو باستخدام آلة حاسبة علمية ، باستخدام الوظيفة:
باستبدال قيمة Z في المعادلة 1 ، لدينا:
W = 180 درجة - 51 درجة = 129 درجة
تمرين 6
إن شعاع الضوء أحادي اللون عند مروره من وسط إلى آخر ، يعاني من انحراف تجاهه. يرتبط هذا التغيير في انتشاره بمؤشرات انكسار الوسائط ، كما هو موضح في العلاقة التالية:
قانون سنيل - ديكارت
حيث i و r هما زاويتا السقوط والانكسار ، و n1 و n2 ، مؤشرات الانكسار للوسيلة 1 و 2.
عند الاصطدام بالسطح الفاصل بين الهواء والزجاج ، يغير شعاع الضوء اتجاهه ، كما هو موضح في الشكل. ما هو معامل انكسار الزجاج؟
البيانات: معامل انكسار الهواء يساوي 1.
الإجابة الصحيحة: معامل انكسار الزجاج يساوي .
استبدال القيم التي لدينا:
تمرين 7
لسحب جذع خشبي إلى ورشته ، قام صانع الأقفال بربط حبل بالسجل وسحبه عشرة أقدام عبر سطح أفقي. صنعت قوة مقدارها 40 نيوتن خلال الخيط زاوية 45 درجة مع اتجاه الحركة. احسب عمل القوة المؤثرة.
الإجابة الصحيحة: العمل المنجز حوالي 84.85 ج.
الشغل هو كمية قياسية يتم الحصول عليها من خلال حاصل ضرب القوة والإزاحة. إذا لم يكن للقوة نفس اتجاه الإزاحة ، فيجب علينا تحليل هذه القوة والنظر في المكون فقط في هذا الاتجاه.
في هذه الحالة ، يجب أن نضرب مقدار القوة في جيب تمام الزاوية.
اذا لدينا:
تمرين 8
بين جبلين ، كان على سكان قريتين السفر صعودا وهبوطا. لحل هذا الوضع ، تقرر بناء جسر معلق بين القريتين أ و ب.
سيكون من الضروري حساب المسافة بين القريتين بالخط المستقيم الذي سيمتد عليه الجسر. نظرًا لأن السكان يعرفون بالفعل ارتفاع المدن وزوايا الصعود ، يمكن حساب هذه المسافة.
بناءً على الرسم البياني أدناه ومعرفة أن ارتفاع المدن كان 100 م ، احسب طول الجسر.
الإجابة الصحيحة: يجب أن يبلغ طول الجسر حوالي 157.73 م.
طول الجسر هو مجموع الأضلاع المجاورة للزوايا المعطاة. استدعاء الارتفاع h ، لدينا:
حساب بزاوية 45 درجة
حساب بزاوية 60 درجة
لتحديد طول الجسر ، نجمع القيم التي تم الحصول عليها.
السؤال رقم 1
سيفيت - SP
في المثلث ABC أدناه ، CF = 20 سم ، BC = 60 سم. قم بتمييز قياسات مقاطع AF و BE على التوالي.
أ) 5 ، 15
ب) 10 ، 20
ج) 15 ، 25
د) 20 ، 10
هـ) 10 ، 5
الجواب: ب) 10 ، 20
لتحديد AF
نلاحظ أن AC = AF + CF ، لذلك علينا:
AF = AC - CF (المعادلة 1)
تُعطى CF من المسألة ، وهي تساوي 20 سم.
يمكن تحديد التيار المتردد باستخدام 30 درجة جيبية.
يتم توفير BC من خلال المسألة ، حيث إنها تساوي 60 سم.
بالتعويض في المعادلة 1 ، لدينا:
لتحديد BE
الملاحظة الأولى:
نتحقق من أن الشكل الموجود داخل المثلث هو مستطيل ، بسبب الزوايا القائمة المحددة في الشكل.
لذلك ، جوانبها متوازية.
الملاحظة الثانية:
يشكل المقطع BE مثلثًا قائم الزاوية بزاوية 30 درجة حيث: الارتفاع يساوي AF ، والذي حددناه للتو ، و BE هو الوتر.
إجراء الحساب:
نستخدم 30 درجة شرط لتحديد BE
السؤال 2
إبكار- MG
تقلع طائرة من النقطة B بميل ثابت قدره 15 درجة إلى الأفقي. 2 كم من B هو الإسقاط الرأسي C لأعلى نقطة D في سلسلة جبال يبلغ ارتفاعها 600 متر ، كما هو موضح في الشكل.
البيانات: cos 15 ° = 0.97 ؛ الخطيئة 15 درجة = 0.26 ؛ tg 15 درجة = 0.27
يصح أن نقول:
أ) لن تصطدم الطائرة بالمنشار قبل أن يصل ارتفاعها إلى 540 م.
ب) سيحدث تصادم بين الطائرة والمنشار على ارتفاع 540 م.
ج) ستصطدم الطائرة بالمنشار في D.
د) إذا أقلعت الطائرة قبل 220 مترًا من B ، مع الحفاظ على نفس الميل ، فلن يكون هناك تصادم بين الطائرة والمنشار.
الجواب: ب) سيحدث تصادم بين الطائرة والمنشار على ارتفاع 540 م.
أولاً ، من الضروري استخدام نفس مضاعف وحدة قياس الطول. لذلك ، سنذهب 2 كم إلى 2000 م.
باتباع نفس ظروف الطيران الأولية ، يمكننا التنبؤ بالارتفاع الذي ستكون عنده الطائرة في الإسقاط العمودي للنقطة C.
باستخدام 15 ° tangent وتحديد الارتفاع كـ h ، لدينا:
السؤال 3
ENEM 2018
لتزيين أسطوانة دائرية مستقيمة ، سيتم استخدام شريط مستطيل من الورق الشفاف ، حيث يتم رسم قطري يتكون من 30 درجة مع الحافة السفلية بخط غامق. يبلغ نصف قطر قاعدة الأسطوانة 6 / π سم ، وعند لف الشريط ، يتم الحصول على خط على شكل لولب ، كما هو موضح في الشكل.
قيمة قياس ارتفاع الاسطوانة بالسنتيمتر هي:
أ) 36-3
ب) 24-3
ج) 4√3
د) 36
هـ) 72
الجواب: ب) 24-3
من خلال ملاحظة الشكل ، نلاحظ أنه تم إجراء 6 لفات حول الأسطوانة. نظرًا لأنها أسطوانة مستقيمة ، سيكون لدينا دائرة في أي مكان على ارتفاعها كقاعدة.
لحساب قياس قاعدة المثلث.
يمكن الحصول على طول الدائرة من الصيغة:
حيث r هو نصف القطر e ، يساوي ،نحن لدينا:
كيف هي 6 لفات:
يمكننا استخدام 30 ° tan لحساب الارتفاع.
السؤال 4
ENEM 2017
تصل أشعة الشمس إلى سطح بحيرة بزاوية X مع سطحها ، كما هو موضح في الشكل.
في ظل ظروف معينة ، يمكن افتراض أن كثافة الإضاءة لهذه الأشعة ، على سطح البحيرة ، تُعطى تقريبًا بواسطة I (x) = k. sin (x) ، k ثابت ، وبافتراض أن X تقع بين 0 ° و 90 °.
عندما تكون x = 30º ، تنخفض شدة الإضاءة إلى النسبة المئوية لقيمتها القصوى؟
أ) 33٪
ب) 50٪
ج) 57٪
د) 70٪
هـ) 86٪
الجواب: ب) 50٪
باستبدال قيمة الجيب 30 درجة في الوظيفة ، نحصل على:
بعد خفض قيمة k بمقدار النصف ، تكون الكثافة 50٪.
تدرب على المزيد من التمارين في:
تمارين علم المثلثات
قم بتوسيع معرفتك من خلال:
علم المثلثات في المثلث القائم
العلاقات المترية في مثلث المستطيل
علم المثلثات
