نظرية فيثاغورس: تمارين محلولة ومعلقة

تشير نظرية فيثاغورس إلى أن قياس الوتر التربيعي في المثلث القائم يساوي مجموع مربعات قياس الساق.

استفد من التمارين التي تم حلها والتعليق عليها للإجابة على كل شكوكك حول هذا المحتوى المهم.

التدريبات المقترحة (مع القرار)

السؤال رقم 1

غادر كارلوس وآنا المنزل للعمل من نفس النقطة ، مرآب المبنى الذي يعيشون فيه. بعد دقيقة واحدة ، والسير في مسار عمودي ، كانت المسافة بينهما 13 مترًا.

إذا كانت سيارة كارلوس قد قطعت 7 أمتار أكثر من آنا خلال تلك الفترة ، فما بعد المسافة بينهما من المرآب؟

أ) كان كارلوس على بعد 10 أمتار من المرآب وآنا على بعد 5 أمتار.
ب) كان كارلوس على بعد 14 مترًا من المرآب وآنا 7 أمتار.
ج) كان كارلوس على بعد 12 مترًا من المرآب وآنا 5 أمتار.
د) كان كارلوس على بعد 13 م من المرآب وآنا 6 م.

انظر للاجابة

الإجابة الصحيحة: ج) كان كارلوس على بعد 12 مترًا من المرآب وآنا على بعد 5 أمتار.

أضلاع المثلث القائم في هذا السؤال هي:

• الوتر: 13 م
• ساق أكبر: 7 + س
• ساق أقصر: x

بتطبيق القيم في نظرية فيثاغورس ، لدينا:

نطبق الآن صيغة Bhaskara لإيجاد قيمة x.

نظرًا لأنه مقياس للطول ، يجب أن نستخدم القيمة الموجبة. لذلك ، فإن أضلاع المثلث الأيمن المتكونة في هذا السؤال هي:

• الوتر: 13 م
• أطول ساق: 7 + 5 = 12 م
• ساق أقصر: س = 5 م

وهكذا ، كانت آنا على بعد 5 أمتار من المرآب وكارلوس على بعد 12 مترًا.

السؤال 2

عندما كانت كارلا تبحث عن قطتها ، رأته على قمة شجرة. ثم طلبت من والدتها المساعدة ووضعوا سلمًا بجوار الشجرة لمساعدة القطة على النزول.

مع العلم أن القطة كانت على بعد 8 أمتار من الأرض وأن قاعدة السلم تم وضعها على بعد 6 أمتار من الشجرة ، ما هي المدة التي استغرقتها السلم لإنقاذ القطة؟

أ) 8 أمتار.
ب) 10 أمتار.
ج) 12 مترا.
د) 14 مترا.

انظر للاجابة

الإجابة الصحيحة: ب) 10 أمتار.

لاحظ أن ارتفاع القطة والمسافة التي تم وضع قاعدة السلم عليها يشكلان زاوية قائمة ، أي 90 درجة. نظرًا لوضع السلم مقابل الزاوية القائمة ، فإن طوله يتوافق مع وتر المثلث القائم.

بتطبيق القيم الواردة في نظرية فيثاغورس نكتشف قيمة الوتر.

لذلك ، يبلغ طول السلم 10 أمتار.

السؤال 3

حسب المقاييس الواردة في البدائل أدناه ، ما هي قيم المثلث القائم؟

أ) 14 سم و 18 سم و 24 سم
ب) 21 سم و 28 سم و 32 سم
ج) 13 سم و 14 سم و 17 سم
د) 12 سم و 16 سم و 20 سم

انظر للاجابة

الإجابة الصحيحة: د) 12 سم و 16 سم و 20 سم.

لمعرفة ما إذا كانت القياسات المقدمة تشكل مثلثًا قائمًا ، يجب علينا تطبيق نظرية فيثاغورس على كل بديل.

أ) 14 سم و 18 سم و 24 سم

ب) 21 سم و 28 سم و 32 سم

ج) 13 سم و 14 سم و 17 سم

د) 12 سم و 16 سم و 20 سم

إذن ، القياسات 12 سم و 16 سم و 20 سم تتوافق مع أضلاع مثلث قائم الزاوية ، حيث أن مربع الوتر ، أطول ضلع ، يساوي مجموع مربع الساقين.

السؤال 4

لاحظ الأشكال الهندسية التالية ، والتي لها جانب واحد يقع في وتر المثلث القائم الزاوية قياس 3 م ، 4 م و 5 م.

أوجد ارتفاع (h) للمثلث متساوي الأضلاع BCD والقيمة القطرية (d) للمربع BCFG.

أ) ع = 4.33 م و د = 7.07 م
ب) ع = 4.72 م ، د = 8.20 م
ج) ع = 4.45 م و د = 7.61 م
د) ع = 4.99 م و د = 8.53 م

انظر للاجابة

الإجابة الصحيحة: أ) ع = 4.33 م ود = 7.07 م.

بما أن المثلث متساوي الأضلاع ، فهذا يعني أن أضلاعه الثلاثة لها نفس القياس. برسم خط يتوافق مع ارتفاع المثلث ، نقسمه إلى مثلثين قائم الزاوية.

نفس الشيء صحيح مع المربع. عندما نرسم خطًا قطريًا ، يمكننا أن نرى مثلثين قائم الزاوية.

بتطبيق البيانات من العبارة في نظرية فيثاغورس ، نكتشف القيم على النحو التالي:

1. حساب ارتفاع المثلث (رجل المثلث الأيمن):

ثم نصل إلى صيغة حساب الارتفاع. الآن ، فقط عوض بقيمة L واحسبها.

2. حساب قطر المربع (وتر المثلث الأيمن):

لذلك ، فإن ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع BCD هو 4.33 والقيمة القطرية للمربع BCFG تساوي 7.07.

نرى أيضا: نظرية فيثاغورس

حل مشاكل امتحان القبول

السؤال 5

(Cefet / MG - 2016) تم بناء طائرة ورقية ، الشكل الموضح أدناه ، بتنسيق ABCD الرباعي ، كونها و . العصا من الطائرة الورقية يتقاطع مع القضيب في منتصفها E ، وتشكيل الزاوية اليمنى. في بناء هذه الطائرة الورقية ، فإن قياسات المستخدمة هي ، على التوالي ، 25 سم و 20 سم ، وقياس يساوي من قياس .

في ظل هذه الظروف ، يتم قياس ، في سم ، يساوي

أ) 25.
ب) 40.
ج) 55.
د) 70.

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ج) 55.

بمراقبة شكل السؤال ، نرى أن القطعة DE ، التي نريد إيجادها ، هي نفسها قطعة BD بطرح القطعة BE.

بما أننا نعلم أن القطعة BE تساوي 20 سم ، فعلينا إذن إيجاد قيمة القطعة BD.

لاحظ أن المشكلة تعطينا المعلومات التالية:

إذن لإيجاد قياس BD ، علينا معرفة قيمة القطعة AC.

بما أن النقطة E تقسم المقطع إلى جزأين متساويين (نقطة المنتصف) ، إذن . لذلك ، فإن الخطوة الأولى هي إيجاد مقياس قطعة CE.

للعثور على قياس CE ، حددنا أن المثلث BCE هو مستطيل ، وأن BC هو الوتر وأن BE و CE هما الساقان ، كما هو موضح في الصورة أدناه:

ثم نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد قياس الساق.

25² = 20²+ س²
625 = 400 + س²
x² = 625 - 400
x² = 225
س = √225
س = 15 سم

لإيجاد الطوق ، يمكن أن نلاحظ أيضًا أن المثلث هو فيثاغورس ، أي أن قياسات أضلاعه هي أعداد متعددة من قياسات المثلث 3 ، 4 ، 5.

وهكذا ، عندما نضرب 4 في 5 ، نحصل على قيمة الطوق (20) وإذا ضربنا 5 في 5 لدينا الوتر (25). لذلك ، يمكن أن تكون الساق الأخرى 15 (5. 3).

الآن بعد أن وجدنا قيمة EC ، يمكننا إيجاد المقاييس الأخرى:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2.15 = 30 سم

لذلك ، فإن قياس يساوي 55 سم

نرى أيضا: فيثاغورس

السؤال 6

(IFRS - 2017) ضع في اعتبارك مثلث متساوي الأضلاع ضلع 5√3. ما ارتفاع هذا المثلث ومساحته على التوالي؟

انظر للاجابة

البديل الصحيح: هـ) 7.5 سم و 75√3 / 4 سم²

أولاً ، لنرسم المثلث متساوي الأضلاع ونرسم الارتفاع ، كما هو موضح في الصورة أدناه:

لاحظ أن الارتفاع يقسم القاعدة إلى جزأين من نفس القياس ، لأن المثلث متساوي الأضلاع. لاحظ أيضًا أن المثلث ACD في الشكل هو مثلث قائم الزاوية.

وهكذا ، لإيجاد قياس الارتفاع ، سنستخدم نظرية فيثاغورس:

بمعرفة قياس الارتفاع ، يمكننا إيجاد المساحة من خلال الصيغة:

السؤال 7

(IFRS - 2016) في الشكل أدناه ، قيمة x و y ، على التوالي ، هي

انظر للاجابة

البديل الصحيح: أ) 4√2 و 97.

لإيجاد قيمة x ، دعنا نطبق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية الذي تساوي أضلاعه 4 سم.

x² = 4² + 4²
x² = 16 + 16
س = √32
س = 4√2 سم

لإيجاد قيمة y ، سنستخدم أيضًا نظرية فيثاغورس ، بالنظر إلى أن إحدى الساقين قياسها 4 سم والأخرى 9 سم (4 + 5 = 9).

ذ² = 4² + 9²
ذ² = 16 + 81
ص = √97 سم

إذن ، قيمة x و y على التوالي هي 4√2 و 97.

السؤال 8

(مبتدئ بحار - 2017) انظر إلى الشكل أدناه.

في الشكل أعلاه ، يوجد مثلث متساوي الساقين ACD ، حيث يقيس المقطع AB 3 سم ، والجانب غير المتساوي AD يقيس 10√2 سم ، والجزءان AC و CD متعامدان. لذلك ، من الصحيح أن نذكر أن مقطع BD يقيس:

أ) √53 سم
ب) 97 سم
ج) √111 سم
د) √149 سم
ه) √161 سم

انظر للاجابة

البديل الصحيح: د) 149 سم

بالنظر إلى المعلومات المقدمة في المشكلة ، نقوم ببناء الشكل أدناه:

وفقًا للشكل ، نجد أنه لإيجاد قيمة x ، سيكون من الضروري إيجاد قياس الضلع الذي نسميه a.

بما أن المثلث ACD مستطيل ، فسنطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة الضلع a.

الآن وقد عرفنا قيمة a ، يمكننا إيجاد قيمة x بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية BCD.

لاحظ أن الضلع BC يساوي قياس الساق ناقص 3 cm ، أي 10 - 3 = 7 cm. بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث ، لدينا:

لذلك ، من الصحيح القول أن قطعة BD قياس measures149 سم.

السؤال 9

(IFRJ - 2013) الساحة الرياضية في حرم Arrozal التابع للمعهد الفيدرالي هي مستطيلة الشكل ، بطول 100 متر وعرض 50 مترًا ، ممثلة بالمستطيل ABCD في هذا الشكل.

ألبرتو وبرونو طالبان يمارسان الرياضة في الفناء. يمشي Alberto من النقطة A إلى النقطة C على طول قطر المستطيل ويعود إلى نقطة البداية على طول المسار نفسه. يبدأ برونو من النقطة B ، ويدور حول الفناء بالكامل ، ويمشي على طول الخطوط الجانبية ، ويعود إلى نقطة البداية. وبالتالي ، مع الأخذ في الاعتبار √5 = 2.24 ، يُذكر أن برونو سار أكثر من ألبرتو

أ) 38 م.
ب) 64 م.
ج) 76 م.
د) 82 م.

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ج) 76 م.

قطري المستطيل يقسمه إلى مثلثين قائم الزاوية ، الوتر هو القطر والأضلاع متساوية مع جانبي المستطيل.

لذا ، لحساب القياس القطري ، دعنا نطبق نظرية فيثاغورس:

في حين ذهب ألبرتو وعاد ، فغطى 224 م.

قطع برونو مسافة مساوية لمحيط المستطيل ، بمعنى آخر:

ص = 100 + 50 + 100 + 50
ع = 300 م

لذلك ، سار برونو 76 مترًا أطول من البرتو (300-112 = 76 مترًا).

السؤال 10

(Enem - 2017) لتزيين طاولة حفلات الأطفال ، سيستخدم الطاهي بطيخًا كرويًا يبلغ قطره 10 سم ، والذي سيكون بمثابة دعامة لأسياخ الحلويات المختلفة. ستقوم بإزالة غطاء محور كروي من البطيخ ، كما هو موضح في الشكل ، ولضمان ثبات هذا الدعم ، يجعل من الصعب على البطيخ أن يتدحرج على المنضدة ، سيقطع الرئيس بحيث يصبح نصف القطر r لقسم القطع الدائري مشعرًا. ناقص 3 سم. من ناحية أخرى ، سيرغب الطاهي في الحصول على أكبر مساحة ممكنة في المنطقة حيث سيتم إصلاح الحلويات.

لتحقيق جميع أهدافه ، يجب على الرئيس قطع غطاء البطيخ على ارتفاع h بالسنتيمتر يساوي

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ج) 1

من خلال ملاحظة الشكل المعروض في السؤال ، حددنا أنه يمكن العثور على الارتفاع h عن طريق تقليل قياس المقطع OA من قياس نصف قطر الكرة (R).

نصف قطر الكرة (R) يساوي نصف قطرها ، والذي في هذه الحالة يساوي 5 سم (10: 2 = 5).

إذن علينا إيجاد قيمة قطعة OA. لهذا ، سننظر في المثلث OAB الموضح في الشكل أدناه ونطبق نظرية فيثاغورس.

5² = 3² + س²
x² = 25 - 9
س = -16
س = 4 سم

يمكننا أيضًا إيجاد قيمة x مباشرة ، مع ملاحظة أن مثلث فيثاغورس هو 3،4 و 5.

لذا فإن قيمة h ستكون مساوية لـ:

ح = ص - س
ح = 5-4
ح = 1 سم

لذلك ، يجب على الشيف قطع غطاء البطيخ على ارتفاع 1 سم.

السؤال 11

(Enem - 2016 - التطبيق الثاني) Boccia هي رياضة تُلعب في ملاعب ذات تضاريس مسطحة ومستوية ومحدودة بمنصات خشبية محيطية. الهدف من هذه الرياضة هو رمي الكرات ، وهي كرات مصنوعة من مادة صناعية ، من أجل ضعها في أقرب مكان ممكن من البوليم ، وهي كرة أصغر ، ويفضل أن تكون مصنوعة من الفولاذ ، مسبقًا أطلقت. يوضح الشكل 1 كرة بوتشي وبوليم تم لعبهما في الملعب. افترض أن أحد اللاعبين قد ألقى كرة نصف قطرها 5 سم تميل على البوليم ونصف قطرها 2 سم كما هو موضح في الشكل 2.

اعتبر النقطة C كمركز الكرة ، والنقطة O كمركز الكرة. من المعروف أن A و B هما النقطتان اللتان تلمسان عندهما كرة البوتشي والكرة الأرضية أرض الملعب ، وأن المسافة بين A و B تساوي d. في ظل هذه الظروف ، ما هي النسبة بين d ونصف قطر بوليم؟

انظر للاجابة

البديل الصحيح: هـ) √10

لحساب قيمة المسافة d بين النقطتين A و B ، دعونا نبني شكلاً يربط بين مركزي المجالين ، كما هو موضح أدناه:

لاحظ أن الشكل المنقط باللون الأزرق يتشكل مثل أرجوحة. دعنا نقسم هذا الأرجوحة ، كما هو موضح أدناه:

من خلال تقسيم الأرجوحة ، نحصل على مستطيل ومثلث قائم الزاوية. طول وتر المثلث يساوي مجموع نصف قطر كرة البوتشي مع نصف قطر بوليم ، أي 5 + 2 = 7 سم.

قياس إحدى الساقين يساوي d وقياس الساق الأخرى يساوي قياس القطعة CA ، وهو نصف قطر كرة البوتشي ، مطروحًا منه نصف قطر البوليم (5 - 2 = 3) .

بهذه الطريقة ، يمكننا إيجاد قياس d ، بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث ، وهو:

7² = 3² - من²
د² = 49 - 9
د = √40
د = 2 √10

لذلك ، سيتم إعطاء النسبة بين المسافة d والبوليم من خلال:.

السؤال 12

(Enem - 2014) يوميًا ، يستهلك المسكن 20160 Wh. هذا المسكن به 100 خلية شمسية مستطيل الشكل (أجهزة قادرة على تحويل ضوء الشمس إلى طاقة كهربائية) بمقاس 6 × 8 سم. تنتج كل خلية من هذه الخلايا ، على مدار اليوم ، 24 واط في الساعة لكل سنتيمتر من القطر. يريد صاحب هذا المنزل أن ينتج ، في اليوم ، نفس كمية الطاقة التي يستهلكها منزله بالضبط. ماذا يفعل هذا المالك له لتحقيق هدفه؟

أ) إزالة 16 خلية.
ب) إزالة 40 خلية.
ج) أضف 5 خلايا.
د) أضف 20 خلية.
هـ) أضف 40 خلية.

انظر للاجابة

البديل الصحيح: أ) إزالة 16 خلية.

أولاً ، سوف تحتاج إلى معرفة ما هو ناتج الطاقة لكل خلية. لذلك ، علينا إيجاد قياس قطر المستطيل.

القطر يساوي وتر المثلث بأرجل تساوي 8 سم و 6 سم. ثم نحسب القطر بتطبيق نظرية فيثاغورس.

ومع ذلك ، نلاحظ أن المثلث المعني هو فيثاغورس ، وهو مضاعف للمثلث 3،4 و 5.

بهذه الطريقة ، سيساوي قياس الوتر 10 سم ، حيث يتم ضرب جانبي مثلث فيثاغورس 3،4 و 5 في 2.

الآن بعد أن عرفنا القياس القطري ، يمكننا حساب الطاقة التي تنتجها 100 خلية ، أي:

ه = 24. 10. 100 = 24000 واط

نظرًا لأن الطاقة المستهلكة تساوي 20 160 واط في الساعة ، فسيتعين علينا تقليل عدد الخلايا. للعثور على هذا الرقم سنفعل:

24000 - 20160 = 3840 واط

بقسمة هذه القيمة على الطاقة التي تنتجها الخلية ، نجد الرقم الذي يجب تقليله ، وهو:

3840: 240 = 16 خلية

لذلك ، يجب أن يكون عمل المالك لتحقيق هدفه هو إزالة 16 خلية.

لمعرفة المزيد ، راجع أيضًا: تمارين علم المثلثات