الدوال المثلثية لنصف القوس

في الدوال المثلثيةيمكن الحصول على الجيب وجيب التمام والظل للنصف القوسي من الدوال المثلثية للقوس المزدوج.

اعطاء قوس للقياس $\ نقطة في البوصة {120} \ ألفا$ ، القوس المزدوج هو القوس $\ نقطة في البوصة {120} 2 \ ألفا$ ونصف القوس هو القوس $\ نقطة في البوصة {120} \ alpha / 2$ .

بواسطة صيغتان لإضافة القوس، لدينا الدوال المثلثية للقوس المزدوج:

شرط:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \، {\ alpha} \ cdot cos \، {\ alpha} + sin \، {\ alpha} \ cdot cos \ ، {\ alpha}}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \، \ boldsymbol {\ alpha})}$

جيب التمام:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \، {\ alpha} \ cdot cos \، {\ alpha} - sin \، {\ alpha} \ cdot sin \، {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \، \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \، \ boldsymbol {\ alpha}}$

الظل:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \، {\ alpha} + tan \، {\ alpha}} {1 - tan \، {\ alpha} \ cdot tan \، {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \، \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \، \ boldsymbol {\ alpha }}}$

من هذه الصيغ ، سنعرض الصيغ لـ نصف قوس الدوال المثلثية.

الدوال المثلثية لنصف القوس

واحد من العلاقات الأساسية لعلم المثلثات هل هذا:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

من أين نحصل:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

استبدال $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ في صيغة جيب التمام للقوس المزدوج ، علينا أن:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \، {\ alpha} - sin ^ 2 \، {\ alpha} = cos ^ 2 \، {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \، {\ alpha})}$

تحقق من بعض الدورات المجانية

دورة تعليمية شاملة مجانية عبر الإنترنت
دورة تعليمية ومكتبة ألعاب مجانية على الإنترنت
دورة مجانية على الإنترنت لألعاب الرياضيات في تعليم الطفولة المبكرة
دورة ورش عمل ثقافية تربوية مجانية عبر الإنترنت

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \، {\ alpha} - 1}$

لذلك: $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \، {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \، {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

استبدال $\ نقطة في البوصة {120} \ ألفا$ لكل $\ نقطة في البوصة {120} \ alpha / 2$ في الصيغة أعلاه واستخراج الجذر التربيعي من كلا الجانبين ، لدينا صيغة جيب تمام نصف القوس:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \، {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \، \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

ملاحظة: ستكون العلامة في الصيغة موجبة أو سالبة وفقًا لربع نصف القوس.

يستبدل الآن $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ في صيغة جيب التمام للقوس المزدوج ، علينا أن:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \، {\ alpha} - sin ^ 2 \، {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \، {\ alpha}) - سين ^ 2 \ ، {\ ألفا}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \، {\ alpha}}$

لذلك:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \، {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \، {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

استبدال $\ نقطة في البوصة {120} \ ألفا$ لكل $\ نقطة في البوصة {120} \ alpha / 2$ في الصيغة أعلاه واستخراج الجذر التربيعي من كلا الجانبين ، لدينا صيغة جيب نصف القوس:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \، {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \، \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

ملاحظة: ستكون العلامة في الصيغة موجبة أو سالبة وفقًا لربع نصف القوس.

أخيرًا ، يمكننا الحصول على ظل نصف القوس ، قسمة جيب نصف القوس على جيب تمام النصف القوسي:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \ ، \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \، \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \، \ alpha} {1 + cos \، \ألفا}}}$

لذلك ، فإن صيغة نصف قوس ظل é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \، \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \، \ boldsymbol {\ ألفا}}}}$

ملاحظة: ستكون العلامة في الصيغة موجبة أو سالبة وفقًا لربع نصف القوس.

قد تكون مهتمًا أيضًا:

الدائرة المثلثية
الجدول المثلثي
النسب المثلثية
قانون الخطايا
قانون جيب التمام

تم إرسال كلمة المرور إلى بريدك الإلكتروني.

الدوال المثلثية لنصف القوس

الدوال المثلثية لنصف القوس

ماذا كان الإقطاع؟

أصل الكون: تعرف على أهم النظريات والتفسيرات

السعر الاسمي وسعر الفائدة الحقيقي