في الدوال المثلثيةهي الوظائف الجيب وجيب التمام والظل. ترتبط جميع الدوال المثلثية بقيمة زاوية بالدرجات أو بالراديان مع قيمة النسبة المثلثية ، وهي علاقة يمكن إجراؤها من خلال دراسة الدورة المثلثية. من خلال الدراسة الفردية لكل من الوظائف المثلثية ، من الممكن عمل التمثيل رسم بياني ، ادرس علامة الوظيفة لكل من الأرباع ، من بين ميزات أخرى مهم.
اقرأ أيضا: أكثر 4 أخطاء في رالصلابة الأساسية
ما هي الدوال المثلثية؟
أكثر الدوال المثلثية شيوعًا هي دالة الجيب ودالة جيب التمام ودالة الظل. دراستهم مرتبطة بـ دورة مثلثية.
لكل قيمة زاوية ، هناك قيمة واحدة للجيب وجيب التمام. الدوال المثلثية ليست أكثر من العلاقة بين الزاوية وقيمة النسبة المثلثية لتلك الزاوية. تذكر أنه يمكن إعطاء قيمة هذه الزاوية بالتقدير الدائري أو بالدرجات وأن قيمة الجيب وجيب التمام هي دائمًا عدد حقيقي بين -1 و 1.
لاحظ في الصورة أن ، لكل زاوية ، يقبل جيب التمام والجيبم قيمة. يعتمد على دراسة كل من الدوال المثلثية التي نلاحظ العلاقة بين قيمة الزاوية وقيمة النسبة المثلثية.
اقرأ أيضا: ما هي الزوايا الرائعة؟
دالة جيب التمام
دالة جيب التمام هي الوظيفة F: R → R ، الذي يكون قانون تشكيله F(x) = cos (x). كما هو جيب تمام الزاوية دائمًا رقم بين 1 و -1، ثم -1 ≤ cos (x) ≤ 1.
اختصاص
مجال دالة جيب التمام هو مجموعة من الأعداد الحقيقية، لأنه لا توجد قيود على قيمة x ، حيث x هي الزاوية بالتقدير الدائري. لكل رقم حقيقي ، يمكنك إيجاد قيمة cos (x) ، لذلك DF= أ.
صورة
نحن نعلم أن المجال المقابل لوظيفة جيب التمام هو مجموعة الأعداد الحقيقية ، ومع ذلك ، عندما نحلل صورة الوظيفة ، من الممكن أن نرى أنها كذلك دائمًا قيمة أكبر من أو تساوي -1 وأقل من أو تساوي 1، نظرًا لأن نصف قطر الدورة المثلثية 1 ، فإن أكبر قيمة يمكن أن تأخذها دالة جيب التمام هي 1 ، وبالمثل ، فإن أصغر قيمة يمكن أن تأخذها هي -1. ايم = [-1، 1]
رسم بياني لدالة جيب التمام
التمثيل البياني لدالة جيب التمام هويتضمن ما بين أثنين المضائقص = -1 و ص = 1. تذكر أن هذا يحدث لأن صورة الوظيفة دائمًا ما تكون رقمًا بين -1 و 1 ولها جزء متزايد وجزء متناقص ، كما نرى أدناه:
من خلال مطابقة قيمة الزاوية مع قيمة النسبة المثلثية ، يمكنك رؤية ذلك يحتوي الرسم سلوك دوري، أي أن السلوك يكرر نفسه دائمًا بشكل دوري. يُعرف الرسم البياني لوظيفة جيب التمام باسم جيب التمام.
الإشارة
نحن نعلم أنه في الدورة المثلثية ، فإن جيب التمام له قيم موجبةفي الربعين الأول والرابع. الربع الأول يقع بين 0º و 90º ، والربع الرابع بين 270º و 360º. في الراديان ، تكون الدالة موجبة لقيم x بين 0 و π / 2 وبين 3π / 2 و 2π.
دالة جيب التمام لها قيم سالبةفي الربعين الثاني والثالثأي أن الزاوية بين 90 درجة و 270 درجة. بالراديان ، لكي تكون دالة جيب التمام سالبة ، تقع x بين π / 2 و 3π / 2.
فترة وظيفة جيب التمام
التمثيل البياني لدالة جيب التمام له أ 2π فترة. عند التحليل ، من الممكن أن نرى أن الرسم البياني موجود في النطاق من 0 إلى 2. للقيم قبل هذا النطاق أو بعده ، يتكرر الرسم البياني.
التكافؤ
تعتبر وظيفة جيب التمام أ دالة زوجية، حيث يوجد تناظر في الرسم البياني بالنسبة للمحور y. عندما يتم اعتبار الوظيفة زوجية ، يجب علينا ذلك F (س) = F (-x) ، أي cos (x) = cos (-x).
أقواس ملحوظة لدالة جيب التمام
لنلقِ نظرة على قيمة جيب التمام للزوايا الأساسية:
نرى أيضا: القاطع وقاطع التمام وظل التمام - النسب المثلثية العكسية للجيب وجيب التمام والظل
دالة الجيب
دالة جيب التمام هي الوظيفة F: R → R ، الذي يكون قانون تشكيله F(x) = sin (x). مثل جيب الزاوية ، تمامًا مثل جيب التمام ، دائمًا ما يكون رقمًا بين 1 و -1، ثم -1 ≤ sin (x) ≤ 1.
اختصاص
مجال دالة الجيب هي مجموعة الأعداد الحقيقية. الوظيفة F(س) = الخطيئة (س) يعرف لجميع الأعداد الحقيقية ، لذلك دF= أ.
صورة
صورة دالة الجيب لها أقصى قيمة في F(س) = 1 والحد الأدنى للقيمة متىو (س) = -1. لذا فإن صورة الوظيفة هي النطاق الحقيقي [-1 ، 1].
الرسم البياني لوظيفة الجيب
الرسم البياني لوظيفة الجيب كما أنه مقيد بالخطوط الأفقية y = -1 و y = 1. يشبه السلوك سلوك دالة الجيب الدورية ، حيث لها فترات زمنية متزايدة وفترات متناقصة. انظر التمثيل البياني لوظيفة الجيب في المستوى الديكارتي أدناه:
الرسم البياني لوظيفة الجيب هو أيضًا دوري ويُعرف باسم الجيب.
الإشارة
على عكس دالة جيب التمام ، وظيفة الجيب له قيم إيجابية فيس رباعيس الأول والثاني أولاً ، للزوايا بين 0 ° و 180 °. في الراديان ، تكون الدالة موجبة للقيم بين 0 و.
دالة الجيب لها قيم سالبةفي الثانيأنا و رابعا رباعيسأي أن الزاوية بين 180 درجة و 360 درجة. بالراديان ، لكي تكون دالة الجيب سالبة ، تقع x بين و 2π.
فترة وظيفة جيب التمام
الرسم البياني لوظيفة الجيب أ فترة 2π. هذا يعني أنه بعد أو قبل الفترة من 0 إلى 2π ، يكون الرسم البياني دوريًا ، أي أنه يكرر نفسه.
التكافؤ
تعتبر وظيفة الجيب أ احتلال أنا أكونزوج، حيث يوجد تناظر في الرسم البياني بالنسبة لمنصف الأرباع الفردية. عندما تعتبر دالة فردية ، يجب علينا ذلك F (س) = -F (x) ، أي الخطيئة (-x) = -sin (x).
أقواس ملحوظة لوظيفة الجيب
لنلقِ نظرة على قيمة الجيب للزوايا الأساسية:
وظيفة الظل
نحن نعرف ذلك الظل هو السبب بين الجيب وجيب التمام. على عكس الدالتين المثلثيتين السابقتين ، فإن دالة الظل ليس لها قيمة قصوى ولا قيمة دنيا. أيضًا ، هناك قيود على المجال ، لكن قانون تكوين وظيفة الظل هو F(x) = tan (x).
اختصاص
وظيفة الظل لها قيود على مجالها ، حيث تتشكل من النسبة بين الجيب وجيب التمام ، لا توجد قيم للماس عندما يكون cos (x) = 0. بالوزن في الدورة المثلثية من 0º إلى 360º ، لم يتم تحديد دالة الظل للزاوية 90 درجة و 270 درجة ، حيث إن هذه هي القيم التي يكون فيها جيب التمام يساوي 0. عندما تكون هناك زوايا أكبر من دورة كاملة واحدة ، فإن كل الزوايا التي تكون فيها قيمة جيب التمام هي 0 ليست جزءًا من مجال دالة جيب التمام.
صورة
على عكس دالة الجيب ودالة جيب التمام ، صورة دالة الظل هي مجموعة الأعداد الحقيقية، أي أنها غير محدودة وليس لها قيمة قصوى أو أدنى. ايم = ص
الظل وظيفة الرسم البياني
وظيفة الظل هي أيضًا دورية مثل وظائف الجيب وجيب التمام ، أي أنها تتكرر دائمًا. عندما نقارن:
الإشارة
دالة الظل له قيمة موجبة للأرباع الفردية ، أي ، أنا و ثالثا الأرباع. للزوايا بين 0º و 90º والزوايا بين 180º و 270º ، للدالة قيم موجبة. في الراديان ، يجب أن تكون قيمة x بين 0 و π / 2 أو و 3π / 2.
بالطبع الوقت
تختلف فترة دالة الظل أيضًا عن وظائف الجيب وجيب التمام. ا فترة دالة الظل هي π.
التكافؤ
دالة الظل é دالة فردية، لأن tan (-x) = -tan (x) ، لذلك يوجد تناظر في الرسم البياني فيما يتعلق بأصل فكرة مبدعة.
أقواس ملحوظة لوظيفة الظل
لنلقِ نظرة على قيمة الظل للزوايا الرئيسية:
نرى أيضا: كيف تجد الجيب وجيب التمام للزوايا التكميلية؟
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - (Enem 2017) تصل أشعة الشمس إلى سطح بحيرة ، وتشكل زاوية x مع سطحها ، كما هو موضح في الشكل.
في ظل ظروف معينة ، يمكن افتراض أن شدة الإضاءة لهذه الأشعة ، على سطح البحيرة ، تُعطى تقريبًا بواسطة I (x) = k · sin (x) ، و k ثابت ، وعلى افتراض أن X تقع بين 0 ° و 90º.
عندما تكون x = 30º ، تنخفض شدة الإضاءة إلى النسبة المئوية لقيمتها القصوى؟
أ) 33٪
ب) 50٪
ج) 57٪
د) 70٪
هـ) 86٪
القرار
البديل ب
في النطاق من 0º إلى 90º ، يكون لدالة الجيب أعلى قيمة لها عندما تكون x = 90º ، لذلك لدينا:
أنا = ك · الخطيئة (90º)
أنا = ك · 1
أنا = ك
الآن ، عندما x = 30º ، علينا أن:
أنا = ك · بدون (30)
أنا = ك · 1/2
أنا = ك / 2
لاحظ أنه تم تقليل الشدة بمقدار النصف ، أي بنسبة 50٪.
السؤال 2 - (Enem 2015) وفقًا للمعهد البرازيلي للجغرافيا والإحصاء (IBGE) ، فإن المنتجات الموسمية هي تلك المنتجات التي تقدم دورات محددة جيدًا للإنتاج والاستهلاك والسعر. باختصار ، هناك أوقات من العام يكون فيها توافرها في أسواق البيع بالتجزئة نادرًا ، مع ارتفاع الأسعار ، يكون أحيانًا وفيرًا ، مع انخفاض الأسعار ، والذي يحدث في شهر الإنتاج الأقصى من محصول. من سلسلة تاريخية ، لوحظ أن السعر P ، بالريال ، للكيلوغرام من منتج موسمي معين يمكن وصفه بالوظيفة:
حيث تمثل x شهر السنة ، حيث x = 1 المرتبطة بشهر يناير ، و x = 2 ، مع شهر فبراير ، وهكذا ، حتى x = 12 ، المرتبطة بشهر ديسمبر.
في الحصاد ، يكون شهر الإنتاج الأقصى لهذا المنتج
أ) يناير.
ب) أبريل.
ج) يونيو.
د) يوليو.
هـ) أكتوبر.
القرار
البديل د
يعترف الحصاد بحد أقصى للإنتاج عندما يكون السعر هو الأدنى ، ونحن نعلم أن دالة جيب التمام تفترض قيمتها الدنيا عندما تكون cos (x) = -1.
الزاوية التي لها قيمة cos -1 هي الزاوية π. لذا يجب أن تكون سعة الزاوية مساوية لـ π ، لذلك علينا أن:
الشهر السابع هو شهر يوليو.
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-1.htm