ضع في اعتبارك معادلة كثيرة الحدود أدناه حيث جميع المعاملات اللاهي أعداد صحيحة:
اللاxلا + الن -1xن -1 + الن -2xن -2 +… + ال2x2 + ال1x + أ0 = 0
ا نظرية الجذور العقلانية يضمن أنه إذا كانت هذه المعادلة تسمح بالرقم المنطقي ص/ماذا او ما كجذر (مع ص
, ماذا او ما 
و mdc (ف ، ف) = 1)، ومن بعد ال0 يقبل القسمة على ص و اللا يقبل القسمة على ماذا او ما.
تعليقات:
1º) لا تضمن نظرية الجذور المنطقية أن يكون للمعادلة متعددة الحدود جذور ، ولكن إذا كانت موجودة بالفعل ، فإن النظرية تسمح لنا بتحديد كل الجذور من المعادلة
2º) إذا اللا= 1 والمعاملات الأخرى كلها أعداد صحيحة ، وللمعادلة جذور صحيحة فقط.
3°) إذا ف = 1 وهناك جذور عقلانية ، كلها ومقسومات على ال0.
تطبيق نظرية الجذور العقلانية:
دعنا نستخدم النظرية لإيجاد جميع جذور المعادلة متعددة الحدود 2x4 + 5x3 - 11 ضعفًا2 - 20 س + 12 = 0.
أولًا ، دعنا نحدد الجذور المنطقية المحتملة لهذه المعادلة ، أي جذور الصورة ص/ماذا او ما. وفقًا للنظرية ، ال0 يقبل القسمة على ص ؛ بهذه الطريقة ، كيف ال0 = 12، ثم القيم المحتملة لـ ص تكون {± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ± 4 ، ± 6 ، ± 12}. بالمثل ، علينا أن ال
لا يقبل القسمة على ماذا او ما و اللا = 2, ومن بعد ماذا او ما يمكن أن تحتوي على القيم التالية: {± 1، ± 2}. لذلك ، قسمة قيم ص لكل ماذا او ما، نحصل على القيم الممكنة ص/ماذا او ما جذور المعادلة: {+ ½، - ½، +1، - 1، +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.للتأكد من أن القيم التي وجدناها هي بالفعل جذر المعادلة متعددة الحدود ، فلنعوض بكل قيمة بدلاً من x من المعادلة. عبر حساب جبري، إذا نتج عن كثير الحدود صفر, لذا فإن الرقم البديل هو في الواقع جذر المعادلة.
2x4 + 5x3 - 11 ضعفًا2 - 20 س + 12 = 0
بالنسبة إلى x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
بالنسبة إلى x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)
بالنسبة إلى x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
بالنسبة إلى x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
بالنسبة إلى x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
بالنسبة إلى x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
بالنسبة إلى x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
بالنسبة إلى x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
بالنسبة إلى x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
بالنسبة إلى x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
بالنسبة إلى x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
بالنسبة إلى x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
بالنسبة إلى x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
بالنسبة إلى x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
بالنسبة إلى x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
بالنسبة إلى x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
لذلك ، جذور معادلة كثير الحدود 2x4 + 5x3 - 11 ضعفًا2 - 20 س + 12 = 0 هم انهم {– 3, – 2, ½, 2}. عبر نظرية التحلل متعدد الحدود، يمكننا كتابة هذه المعادلة على النحو التالي (س + 3). (س + 2). (س - ½). (س - 2)= 0.
بقلم أماندا غونسالفيس
تخرج في الرياضيات
هل ترغب في الإشارة إلى هذا النص في مدرسة أو عمل أكاديمي؟ نظرة:
ريبيرو ، أماندا غونسالفيس. "نظرية الجذور العقلانية" ؛ مدرسة البرازيل. متوفر في: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. تم الوصول إليه في 28 يونيو 2021.
