مقاييس التشتت: التباين والانحراف المعياري

في دراسة إحصائية، لدينا بعض الاستراتيجيات للتحقق مما إذا كانت القيم المقدمة في مجموعة البيانات مشتتة أم لا ومدى تباعدها. الأدوات المستخدمة لجعل هذا ممكنا مصنفة على أنها مقاييس التشتت ودعا التباين والانحراف المعياري. دعونا نرى ما يمثله كل منهم:

التباين:

• بالنظر إلى مجموعة من البيانات ، يعد التباين مقياسًا للتشتت يوضح مدى بُعد كل قيمة في تلك المجموعة عن القيمة المركزية (المتوسطة).

• كلما كان التباين أصغر ، كلما اقتربت القيم من المتوسط ​​؛ ولكن كلما زاد حجمها ، كانت القيم أبعد عن الوسط.

• اعتبر ذلك x₁، س₂،... ، x_لاهم ال لا عناصر أ عينة هل هذا X و المتوسط ​​الحسابي لهذه العناصر. حساب تباين العينة تعطى من قبل:

  فار. عينة = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_لا – x)²
  ​ن - 1

• من ناحية أخرى ، إذا أردنا حساب تباين المجتمع، سننظر في جميع عناصر السكان ، وليس مجرد عينة. في هذه الحالة ، يكون للحساب فرق بسيط. يشاهد:

  فار. السكان = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_لا – x)²
  لا

الانحراف المعياري:

• الانحراف المعياري قادر على تحديد "الخطأ" في مجموعة البيانات ، إذا أردنا استبدال إحدى القيم التي تم جمعها بالمتوسط ​​الحسابي.

• يظهر الانحراف المعياري بجوار المتوسط ​​الحسابي ، يوضح مدى "موثوقية" هذه القيمة. يتم تقديمه على النحو التالي:

  المتوسط ​​الحسابي (x) ± الانحراف المعياري (SD)

• يتم حساب الانحراف المعياري من الجذر التربيعي الموجب للتباين. لذلك:

  dp = √var

دعنا الآن نطبق حساب التباين والانحراف المعياري في مثال:

في إحدى المدارس ، قرر المجلس النظر في عدد الطلاب الحاصلين على درجات أعلى من المتوسط ​​في جميع المواد. لتحليلها بشكل أفضل ، قررت المخرجة آنا تجميع جدول بكمية الدرجات "الزرقاء" في عينة من أربعة فصول على مدار عام. انظر أدناه الجدول الذي نظمه مدير المدرسة:

قبل حساب التباين ، من الضروري التحقق من المتوسط ​​الحسابي(x) عدد الطلاب فوق المتوسط ​​في كل فصل:

السنة السادسة → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7 سنوات → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

السنة الثامنة → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9 العام → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

لحساب تباين عدد الطلاب فوق المتوسط ​​في كل فصل ، نستخدم عينة، لهذا نستخدم صيغة تباين العينة:

فار. عينة = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_لا – x)²
ن - 1

السنة السادسة → فار = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

فار = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

فار = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

فار = 13,00
3
فار = 4.33

7 سنوات → فار = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

فار = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

فار = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

فار = 24,00
3
فار = 8.00

السنة الثامنة → فار = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

فار = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

فار = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

فار = 20,74
3
فار = 6.91

9 العام → فار = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

فار = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

فار = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

فار = 41,00
3
فار = 13.66

بمجرد معرفة تباين كل فئة ، دعنا الآن نحسب الانحراف المعياري:

السنة السادسة dp = √var موانئ دبي = √4.33 ​موانئ دبي ≈ 2,08

7 سنوات dp = √var موانئ دبي = √8.00 ​موانئ دبي ≈ 2,83

السنة الثامنة dp = √var موانئ دبي = √6.91 ​موانئ دبي ≈ 2,63

9 العام dp = √var موانئ دبي = √13.66 ​موانئ دبي ≈ 3,70

لاستكمال تحليلها ، يمكن لمديرة المدرسة تقديم القيم التالية التي تشير إلى متوسط ​​عدد الطلاب فوق المتوسط ​​لكل فصل تم مسحه:

السنة السادسة: 7.50 ± 2.08 طالب فوق المتوسط ​​لكل فصل دراسي ؛
7 سنوات: 8.00 ± 2.83 طالب فوق المتوسط ​​لكل شهرين ؛
السنة الثامنة: 8.75 ± 2.63 طالب فوق المتوسط ​​لكل شهرين ؛
9 العام: 8.50 ± 3.70 طالب فوق المتوسط ​​لكل شهرين ؛

مقياس آخر للتشتت هو معامل الاختلاف. نظرة هنا كيف تحسبها!

بقلم أماندا غونسالفيس
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm