ا حجم الهرم يتم حسابها بضرب مساحة القاعدة والارتفاع ، والقسمة على ثلاثة. لحساب حجم الهرم ، من الضروري معرفة المضلع الذي يشكل قاعدة هذا الهرم هرم، لهذا، ل كل قاعدة ، نستخدم صيغة مختلفة لتجد ال لك منطقة. يمكننا ربط حجم المنشور بحجم هرم له نفس ارتفاع ومساحة القاعدة ، لأن حجم الهرم يساوي ثلث حجم المنشور.
اقرأ أيضا: ما هي الأشكال الهندسية؟
كيف يتم حساب حجم الهرم؟
يمكن حساب حجم الهرم باستخدام صيغة تعتمد بشكل مباشر على مضلع الذي يشكل الأساس. لحساب حجم أي هرم ، نستخدم الصيغة التالية:
V → الحجم
الب → منطقة عند قاعدة الهرم
ح → ارتفاع الهرم
يمكن تشكيل قاعدة الهرم بأي مضلع.، لذلك يمكننا الحصول على هرم قاعدة مثلث ، هرم قاعدة مربع ، هرم قاعدة سداسية. على أي حال ، يمكن لأي مضلع أن يكون قاعدة الهرم ، ولأنه مضلع ، لحساب مساحة قاعدته ، فهناك معادلة محددة.
اقرأ أيضا: ما هي المواد الصلبة لأفلاطون؟
هرم قاعدة مربعة
في الهرم المربع ، نعلم أن مساحة ميدان يُحسب بطول الضلع التربيعي ، أي أ = هناك². إذن ، لحساب حجم هرم مربع ، نحسب حاصل ضرب مربع حافة القاعدة وارتفاع الهرم ونقسمه على ثلاثة. انظر المثال أدناه.
مثال:
احسب حجم الهرم أدناه ، مع العلم أن قاعدته تتكون من مربع:
في الهرم ، الارتفاع h يساوي 6 سم وحافة قاعدته 3 سم.
ثم، سنحسب أولاً مساحة القاعدة أب. مساحة المربع تساوي هناك² ، لذا يتعين علينا:
الب = هناك²
الب = 3²
الب = 9 سم²
الآن بعد أن عرفنا قيمة المساحة الأساسية ، ما عليك سوى استبدال قياس الارتفاع وقياس مساحة القاعدة في صيغة حجم الهرم:
هرم ذو قاعدة مثلثة
عندما تكون قاعدة الهرم مثلثة ، لحساب مساحة القاعدة ، نستخدم صيغة مساحة المثلث، وهو ما يساوي حاصل ضرب القاعدة والارتفاع مقسومًا على اثنين.
مثال:
مع العلم أن ارتفاع الهرم التالي 9 سم احسب حجمه:
حيث أن القاعدة أ مثلث، سنحسب أولاً مساحة القاعدة ، وهي طول القاعدة مضروبًا في طول ارتفاع المثلث الذي يشكل القاعدة ، ونقسم على اثنين.
الآن بعد أن عرفنا قيمة مساحة القاعدة ، أصبح من الممكن حساب حجم هذا الهرم:
المثال 2:
عندما تكون قاعدة الهرم أ مثلث متساوي الاضلاع، يمكننا استخدام صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع لحساب مساحة القاعدة.
سنحسب حجم هرم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 8 سم ، وارتفاعه 15 سم.
نحسب أولًا مساحة القاعدة ، نظرًا لأنه مثلث متساوي الأضلاع ، سنستخدم صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع.
الآن دعنا نحسب الحجم:
نرى أيضا: الاختلافات بين الأشكال المسطحة والمكانية
هرم قاعدة سداسي
في الهرم الأساسي السداسي ، لحساب مساحة القاعدة ، نستخدم صيغة المساحة السداسية.
مثال:
احسب حجم الهرم مع العلم أن قاعدته سداسية منتظمة:
أولاً سنحسب مساحة الشكل السداسي:
الآن دعنا نحسب الحجم:
العلاقة بين حجم الهرم وحجم المنشور
معطى واحد نشور زجاجي وهرم من نفس القاعدة ، نعلم أن حجم المنشور يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع ، وحجم الهرم هو حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع مقسومًا على ثلاثة ، لذلك إذا كانت مساحة القاعدة هي نفسها ، حجم الهرم سيكون ذلك يساوي 1/3 من حجم المنشور.
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - سعيًا للابتكار في تصميم العبوات ، قررت صناعة مستحضرات التجميل إنتاج عبوات على شكل هرم بقاعدة مربعة لمرطبها الجديد. قاعدة هذا الهرم على شكل مربع من الأضلاع بطول 6 سم. مع العلم ان هذا المرطب يجب ان يحتوي على 200 مل يجب ان يكون ارتفاع الهرم تقريبا:
أ) 15.2 سم
ب) 15.8 سم
ج) 16.4 سم
د) 16.7 سم
هـ) 17.2 سم
القرار
البديل د
نعلم أن 200 مل تساوي 200 سم مكعب ، لذلك لدينا V = 200. لذا ، بحساب مساحة القاعدة ، وهي مربع ، علينا:
الب = l²
الب = 6²
الب = 36 سم²
لنجعل الحجم يساوي 200 سم مكعب ، لذا علينا:
السؤال 2 - (Enem) ينتج المصنع شموع بارافين هرمية الشكل رباعية الزوايا بارتفاع 19 سم وحافة قاعدية 6 سم. تتكون هذه الشموع من 4 كتل من نفس الارتفاع - 3 جذوع هرمية بقواعد متوازية وهرم واحد في الأعلى - متباعدة 1 سم ، يجري أن القاعدة العلوية لكل كتلة تساوي القاعدة السفلية للكتلة المتراكبة ، مع وجود قضيب حديدي يمر عبر مركز كل كتلة ، وينضم إليها ، كما هو موضح في الشكل.
إذا قرر صاحب المصنع تنويع النموذج ، وإزالة الهرم في الأعلى ، وهو 1.5 سم حافة عند القاعدة ، ولكن مع الاحتفاظ بنفس القالب ، كم سينفق على البارافين لتصنيع أ شمعة؟
أ) 156 سم مكعب
ب) 189 سم مكعب
ج) 192 سم مكعب
د) 216 سم مكعب
هـ) 540 سم مكعب
القرار
البديل ب
دعونا نحسب الفرق بين الهرم الأكبر (V) والهرم الأصغر (V.2).
نعلم أن هناك مسافة 1 سم بين الكتل ، لذا فإن ارتفاع الهرم الأكبر هو 19 - 3 = 16 سم. الهرم الأكبر يقع على بعد 6 سم من القاعدة ، حيث أن قاعدته مربعة ، لذا أب = l² = 6² = 36.
وبالتالي ، فإن حجم الهرم الأكبر هو:
لإيجاد ارتفاع أصغر هرم ، دعنا نقسم الارتفاع الكلي على 4 ، أي 16: 4 = 4 سم. عند فعل الشيء نفسه مع الحافة ، نحصل على 6: 4 = 1.5.
وبذلك تكون مساحة قاعدة الهرم الأصغر 1.5² = 2.25. عند حساب الحجم ، علينا:
الآن نجد الفرق بين الأحجام:
192-3 = 189 سم مكعب
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-piramide.htm