الأعداد الطبيعية: تعرف على المزيد حول هذه المجموعة!

أنت الأعداد الطبيعية كانت أول مجموعة رقمية تؤخذ في الاعتبار تاريخياً. خرجوا من بحاجة للعد للإنسان. تحتوي مجموعة الأعداد الطبيعية على عناصر الأعداد والأعداد الصحيحة الموجبة ، مثل 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،…. هذه المجموعة لديها عمليات الجمع ، الطرح، الضرب ، القسمة ، التقوية و إشعاع.

ما هي الأعداد الطبيعية؟

الأعداد الطبيعية هي أرقام بصرامة إيجابية التي لا تحتوي على فاصلة ، أي أنها تمثل الكميات كل. يمكن تمثيل مجموعة الأعداد الطبيعية على النحو التالي:

مجموعة الأعداد الطبيعية هي أ مجموعة لانهائية، أي ، مع الأخذ في الاعتبار أي رقم طبيعي ، يوجد رقم واحد على الأقل أكبر منه. شاهد بعض الأمثلة للعناصر التي تنتمي ولا تنتمي إلى هذه المجموعة.

من المثال أعلاه ، لدينا أن الأرقام 10 و 2 و 100 تنتمي إلى المجموعة الطبيعية ، والأرقام 1.65 و –2 و 0 لا تنتمي إلى المجموعة الطبيعية.

اقرأ أيضا: حقائق ممتعة حول قسمة الأعداد الطبيعية

خليفة عدد طبيعي

مجموعة الأعداد الطبيعية هي أول ما تعلمناه في المدرسة.

كما قلنا أعلاه ، فإن مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة لا نهائية ، أي معطى أي رقم لا طبيعي ، هناك دائمًا ن + 1 ، طبيعي أيضًا. الرقم

instagram story viewer

ن + 1 يسمى خليفة ن. فقط لتحديد وريث أي عدد طبيعي يضيف 1 لهذا الرقم. كمثال ، دعنا نحدد خلف الأعداد 3 و 1 و 5 و 2 p + 1.

يُعطى خليفة الرقم 3 بـ 3 + 1 ، أي الرقم 4. وبالمثل ، فإن خلفاء 1 و 5 هم ، على التوالي ، 2 و 6. بعد تعريف الوريث ، لنفترض أن خليفة 2p + 1 هو 2p + 1 + 1 ، أي 2p + 2.

مع تعريف الوريث ، تصبح فكرة أن مجموعة الأعداد الطبيعية لا نهائية أكثر وضوحًا ، لأنه من الممكن دائمًا العثور على أي خليفة لرقم طبيعي.

أصل عدد طبيعي

سلف العدد الطبيعي لا هو الذي يسبق هذا الرقم لا. يمكننا كتابة سلف لا مثل ن - 1. كمثال ، دعنا نحدد أسلاف الأرقام 2 و 5 و 1000 و 2 p + 1.

يُعطى سلف 2 بواسطة 2 - 1 ، لذلك فهو الرقم 1. وبالمثل ، فإن أسلاف 5 و 1000 هم ، على التوالي ، الأرقام 4 و 999. سلف الرقم 2p + 1 هو 2p + 1 - 1 ، أي أن سلف 2p +1 هو الرقم 2p.

من المهم أن أقول ذلك ليس كل رقم طبيعي له سلف، هي حالة الرقم 1. عند تطبيق تعريف السلف ، لدينا أن سلف الرقم 1 هو 1 - 1 = 0 ، لكن الرقم الصفر لا ينتمي إلى الأعداد الطبيعية. لذلك ، كل رقم طبيعي له سلف ، باستثناء الرقم 1. لهذا السبب ، يُطلق على الرقم 1 الحد الأدنى من العناصر الطبيعية ، أي أصغر عدد طبيعي. يمكننا كتابة هذه المعلومات على النحو التالي:

مجموعة فرعية من الأعداد الطبيعية

نعلم أن مجموعة الأعداد الطبيعية تتكون من أعداد موجبة تمامًا ، أي أعداد أكبر من الصفر. من نظرية مجموعات، لدينا ذلك ، بالنظر إلى المجموعتين A و B ، نقول ذلك B هي مجموعة فرعية من A إذا كان كل عنصر من B عنصرًا من A، أي ، B موجود في A (B ⸦ A).

وبالتالي ، فإن أي مجموعة تتكون من الأعداد الطبيعية ستكون مجموعة فرعية من الأعداد الطبيعية. انظر بعض الأمثلة:

ضع في اعتبارك المجموعات:

أ = {2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، ...}

ب = {1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، ...}

ج = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 23}

د = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7}

المجموعات A و B و C هي مجموعات فرعية من الأعداد الطبيعية ، حيث أن جميع عناصر هذه المجموعات هي أيضًا عناصر من العناصر الطبيعية ، أي يمكننا القول:

الآن انظر إلى المجموعة د. لاحظ أنه في هذه المجموعة ، لا ينتمي كل عنصر إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. هذا هو الحال مع الرقم 0. لذلك ، د إنها ليست مجموعة فرعية من الأعداد الطبيعية ، أي أن D غير واردة في مجموعة الأعداد الطبيعية. نشير إلى هذه الحقيقة على النحو التالي:

اقرأ أيضا: الأعداد الأولية: ما هي وكيف تجدها؟

حتى الأعداد الطبيعية

نقول أن الرقم حتى لو كان من مضاعفات الرقم 2 ، وهو ما يعادل القول بأن هذا الرقم قابل للقسمة على 2. نظرة:

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}

لأن مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة لا نهائية ، كذلك مجموعة الأعداد الزوجية. لاحظ أيضًا أن كل عنصر في مجموعة الأرقام الزوجية هو أيضًا عنصر من عناصر الأعداد الطبيعية وبالتالي مجموعة الأرقام الزوجية هي مجموعة فرعية من العناصر الطبيعية..

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)

أنظر لهذا:

2 = 2 · 1

4 = 2 · 2

6 = 2 · 3

8 = 2 · 4

10 = 2 ·5

12 = 2 · 6

يمكن الحصول على مجموعة الأعداد الزوجية بضرب كل الأعداد الطبيعية في الرقم 2. لذلك مع الأخذ في الاعتبار العدد الطبيعي لا، يمكننا كتابة عدد زوجي باستخدام التعبير 2n ، لذلك يمكن كتابة مجموعة الأعداد الزوجية بشكل عام عن طريق:

كمثال ، دعنا نكتشف ما إذا كانت الأعداد 1000 و 2098 و 55 زوجية.

بما أن 1000 = 2 · 500 و 2098 = 2 · 1049 ، فإنهما متساويتان لأن هناك عددًا طبيعيًا ناتجًا عن ضربهما في 2. الآن ، 55 ليس زوجيًا ، لأنه لا يوجد عدد طبيعي ينتج عنه 55 إذا ضرب في 2. نظرة:

54 = 2 · 27

56 = 2 · 28

كما نعلم جيدًا ، لا يوجد عدد طبيعي بين 27 و 28 ، لذا فإن 55 ليس عددًا زوجيًا.

الأعداد الطبيعية الفردية

يكون الرقم فرديًا إذا لم يكن زوجيًا ، أي عندما لا يكون مضاعفًا ولا يقبل القسمة على 2. وهكذا ، فإن مجموعة الأعداد الطبيعية الفردية هي أعداد طبيعية ليست من مضاعفات 2. يمكن كتابة هذه المجموعة على النحو التالي:

{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}

بشكل مشابه لما فعلناه في مجموعة الأرقام الزوجية ، لدينا:

3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1

يمكن الحصول على مجموعة الأرقام الفردية بضربها جميع الأعداد الطبيعية بمقدار 2 وجمع 1. النظر في العدد الطبيعي لا في أي حال ، يمكننا كتابة أي عدد فردي باستخدام التعبير 2n + 1. بشكل عام ، نحن نمثل مجموعة الأرقام الفردية من خلال:

لاحظ أن مجموعة الأرقام الفردية هي أيضًا مجموعة لا نهائية ، لأنه للحصول على الأرقام الفردية ، نضرب الأعداد الطبيعية في 2 ثم نضيف 1. لهذا السبب ، فإن مجموعة الأرقام الفردية هي أيضًا مجموعة فرعية من العناصر الطبيعية.، لأن كل عنصر في هذه المجموعة هو أيضًا عنصر من العناصر الطبيعية.

نرى أيضا: خصائص الأرقام الفردية والزوجية

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - اذكر فقط الأرقام الطبيعية للأرقام المذكورة أدناه:

0, 1, 2, 0,43; -1 ، - 0.5 و 98765

حل

نعلم أن مجموعة الأعداد الطبيعية تتكون من أرقام موجبة تمامًا ولا تحتوي على فاصلة ، وبالتالي فإن الأرقام الطبيعية في القائمة هي: 1 و 2 و 98765.

السؤال 2 - بالنظر إلى الشكل العام للعدد الزوجي ، هل صحيح أنه بإضافة رقمين زوجي ، تظل النتيجة زوجية؟ الشيء نفسه ينطبق على الأرقام الفردية؟

حل

نعلم أنه يمكن كتابة عدد زوجي بشكل عام بضرب أي عدد طبيعي في 2. ضع في اعتبارك رقمين طبيعيين متميزين ، 2 ن و 2 م ، أين م و لا أي أرقام طبيعية ، يتم تحديد مجموع الاثنين من خلال:

2 ن + 2 م

بوضع الرقم 2 في الدليل ، لدينا:

2 · (ن + م)

يحب لا و م رقمان طبيعيان ، مجموعهما أيضًا ، لذا n + m = k ، أين ك عدد طبيعي.

2 · (ن + م)

2 · ك

لذلك ، فإن مجموع عددين طبيعيين زوجي هو أيضًا عدد زوجي ، حيث نتج عن المجموع مضاعف 2.

نعلم الآن أن العدد الفردي يُعطى بضرب عدد طبيعي في 2 مضافًا إلى الرقم 1. فكر الآن في رقمين فرديين متميزين ، 2n +1 و 2m + 1 ، مع م و لا طبيعي. بجمع هذه الأرقام معًا ، لدينا:

2n + 1 + 2 م +1

2 ن + 2 م +2

مرة أخرى بوضع الرقم 2 في الدليل ، لدينا:

2 (ن + م + 1)

لاحظ أن n + m + 1 عدد طبيعي ويمكننا تمثيله بواسطة p ، أي ، ن + م + 1 = ص، هكذا:

2 ·(ن + م + 1)

2 · ص

لاحظ أن نتيجة إضافة عددين فرديين نتج عنها مضاعف 2 ، أي زوجي. لذلك ، فإن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي.

السؤال 3 - (عطاء / تفضيل. من Itaboraí) حاصل القسمة بين عددين طبيعيين هو 10. بضرب المقسوم في 5 وتقليل المقسوم عليه بمقدار النصف ، سيكون حاصل القسمة الجديدة كما يلي:

أ) 2

ب) 5

ج) 25

د) 50

هـ) 100

حل

وفقًا للبيان ، فإن حاصل القسمة بين عددين طبيعيين هو 10. نظرًا لأننا ما زلنا لا نعرف ما هي هذه الأرقام ، فلنسميها م و لا، ومن بعد: