أصل i تربيع يساوي -1

في دراسة الأعداد المركبة نجد المساواة التالية: i2 = – 1.
عادةً ما يرتبط تبرير هذه المساواة بحل معادلات الدرجة الثانية ذات الجذور التربيعية السالبة ، وهذا خطأ. أصل التعبير i2 = - 1 يظهر في تعريف الأعداد المركبة ، وهو موضوع آخر يثير الكثير من الشك أيضًا. دعونا نفهم سبب هذه المساواة وكيف تنشأ.
أولاً ، دعنا نضع بعض التعريفات.
1. زوج مرتب من الأعداد الحقيقية (س ، ص) يسمى عدد مركب.
2. الأعداد المركبة (x1ذ1) و (x2ذ2) متساوية إذا وفقط إذا كانت x1 = س2 و ذ1 = ذ2.
3. يتم تحديد إضافة وضرب الأعداد المركبة من خلال:
(x1ذ1) + (x2ذ2) = (س1 + س2ذ1 + ص2)
(x1ذ1) * (x2ذ2) = (س1* س2 - ذ1* ذ2، س1* ذ2 + ص1* س2)
مثال 1. خذ بعين الاعتبار z1 = (3 ، 4) و z2 = (2، 5) احسب ض1 + ض2 و ض1* ض2.
حل:
ض1 + ض2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
ض1* ض2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
باستخدام التعريف الثالث ، من السهل إظهار ما يلي:
(x1، 0) + (x2، 0) = (x1 + س2, 0)
(x1، 0) * (x2، 0) = (x1* س2, 0)
توضح هذه المساواة أنه فيما يتعلق بعمليات الجمع والضرب ، فإن الأعداد المركبة (س ، ص) تتصرف مثل الأعداد الحقيقية. في هذا السياق ، يمكننا إنشاء العلاقة التالية: (x، 0) = x.


باستخدام هذه العلاقة والرمز i لتمثيل العدد المركب (0 ، 1) ، يمكننا كتابة أي عدد مركب (x ، y) على النحو التالي:
(x، y) = (x، 0) + (0، 1) * (y، 0) = x + iy → وهو الاستدعاء العادي لرقم مركب.
وبالتالي ، فإن العدد المركب (3 ، 4) في الصورة العادية يصبح 3 + 4i.
مثال 2. اكتب الأعداد المركبة التالية في الصورة العادية.
أ) (5 ، - 3) = 5 - 3 ط
ب) (- ٧ ، ١١) = - ٧ + ١١ ط
ج) (2 ، 0) = 2 + 0 ط = 2
د) (0 ، 2) = 0 + 2 ط = 2 ط
لاحظ الآن أننا نسمي i العدد المركب (0 ، 1). دعونا نرى ما يحدث عند صنع i2.
نحن نعلم أن أنا = (0 ، 1) وأن أنا2 = أنا * أنا. يتبع ذلك:
أنا2 = أنا * أنا = (0 ، 1) * (0 ، 1)
باستخدام التعريف 3 ، سيكون لدينا:
أنا2 = i * i = (0، 1) * (0، 1) = (0 * 0-1 * 1، 0 * 1 + 1 * 0) = (0-1، 0 + 0) = (- 1، 0 )
كما رأينا سابقًا ، كل عدد مركب في الصورة (س ، 0) = س. هكذا،
أنا2 = i * i = (0، 1) * (0، 1) = (0 * 0-1 * 1، 0 * 1 + 1 * 0) = (0-1، 0 + 0) = (- 1، 0 ) = - 1.
وصلنا إلى المساواة الشهيرة أنا2 = – 1.

بقلم مارسيلو ريجوناتو
متخصص في الإحصاء والنمذجة الرياضية
فريق مدرسة البرازيل

ارقام مركبة - رياضيات - مدرسة البرازيل

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm

5 عادات صحية يجب أن نتبعها في المدرسة

5 عادات صحية يجب أن نتبعها في المدرسة

يمر الأطفال والمراهقون فترات طويلة في المدرسة. في هذه الأوقات ، يتعرضون ل الكثير من الناس والمواق...

read more
يورغن هابرماس: السيرة الذاتية والأفكار والأعمال الرئيسية

يورغن هابرماس: السيرة الذاتية والأفكار والأعمال الرئيسية

يورغن هابرماس إنها فيلسوف وعالم اجتماع ألماني مرتبطة بالنظرية النقدية ، وهو تيار فكري طورته مدرسة...

read more
تطور المدن. مدن من العصور القديمة إلى المعاصرة

تطور المدن. مدن من العصور القديمة إلى المعاصرة

تم العثور على أقدم السجلات الأثرية من أنقاض مدن يعود تاريخه إلى ثورة العصر الحجري الحديث ، حوالي...

read more