في دراسة الأعداد المركبة نجد المساواة التالية: i2 = – 1.
عادةً ما يرتبط تبرير هذه المساواة بحل معادلات الدرجة الثانية ذات الجذور التربيعية السالبة ، وهذا خطأ. أصل التعبير i2 = - 1 يظهر في تعريف الأعداد المركبة ، وهو موضوع آخر يثير الكثير من الشك أيضًا. دعونا نفهم سبب هذه المساواة وكيف تنشأ.
أولاً ، دعنا نضع بعض التعريفات.
1. زوج مرتب من الأعداد الحقيقية (س ، ص) يسمى عدد مركب.
2. الأعداد المركبة (x1ذ1) و (x2ذ2) متساوية إذا وفقط إذا كانت x1 = س2 و ذ1 = ذ2.
3. يتم تحديد إضافة وضرب الأعداد المركبة من خلال:
(x1ذ1) + (x2ذ2) = (س1 + س2ذ1 + ص2)
(x1ذ1) * (x2ذ2) = (س1* س2 - ذ1* ذ2، س1* ذ2 + ص1* س2)
مثال 1. خذ بعين الاعتبار z1 = (3 ، 4) و z2 = (2، 5) احسب ض1 + ض2 و ض1* ض2.
حل:
ض1 + ض2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
ض1* ض2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
باستخدام التعريف الثالث ، من السهل إظهار ما يلي:
(x1، 0) + (x2، 0) = (x1 + س2, 0)
(x1، 0) * (x2، 0) = (x1* س2, 0)
توضح هذه المساواة أنه فيما يتعلق بعمليات الجمع والضرب ، فإن الأعداد المركبة (س ، ص) تتصرف مثل الأعداد الحقيقية. في هذا السياق ، يمكننا إنشاء العلاقة التالية: (x، 0) = x.
باستخدام هذه العلاقة والرمز i لتمثيل العدد المركب (0 ، 1) ، يمكننا كتابة أي عدد مركب (x ، y) على النحو التالي:
(x، y) = (x، 0) + (0، 1) * (y، 0) = x + iy → وهو الاستدعاء العادي لرقم مركب.
وبالتالي ، فإن العدد المركب (3 ، 4) في الصورة العادية يصبح 3 + 4i.
مثال 2. اكتب الأعداد المركبة التالية في الصورة العادية.
أ) (5 ، - 3) = 5 - 3 ط
ب) (- ٧ ، ١١) = - ٧ + ١١ ط
ج) (2 ، 0) = 2 + 0 ط = 2
د) (0 ، 2) = 0 + 2 ط = 2 ط
لاحظ الآن أننا نسمي i العدد المركب (0 ، 1). دعونا نرى ما يحدث عند صنع i2.
نحن نعلم أن أنا = (0 ، 1) وأن أنا2 = أنا * أنا. يتبع ذلك:
أنا2 = أنا * أنا = (0 ، 1) * (0 ، 1)
باستخدام التعريف 3 ، سيكون لدينا:
أنا2 = i * i = (0، 1) * (0، 1) = (0 * 0-1 * 1، 0 * 1 + 1 * 0) = (0-1، 0 + 0) = (- 1، 0 )
كما رأينا سابقًا ، كل عدد مركب في الصورة (س ، 0) = س. هكذا،
أنا2 = i * i = (0، 1) * (0، 1) = (0 * 0-1 * 1، 0 * 1 + 1 * 0) = (0-1، 0 + 0) = (- 1، 0 ) = - 1.
وصلنا إلى المساواة الشهيرة أنا2 = – 1.
بقلم مارسيلو ريجوناتو
متخصص في الإحصاء والنمذجة الرياضية
فريق مدرسة البرازيل
ارقام مركبة - رياضيات - مدرسة البرازيل
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm