التقدم الحسابي: ما هو ، المصطلحات ، الأمثلة

ال التقدم الحسابي (ا ف ب) هو التسلسل العددي التي نستخدمها لوصف سلوك بعض الظواهر في الرياضيات. في السلطة الفلسطينية ، فإن النمو أو الاضمحلال ثابت دائمًا، أي من مصطلح إلى آخر ، سيكون الاختلاف دائمًا هو نفسه ، ويعرف هذا الاختلاف باسم السبب.

نتيجة ل السلوك المتوقع للتقدم، يمكنك وصفه من صيغة تعرف باسم مصطلح عام. لهذا السبب نفسه ، من الممكن أيضًا حساب مجموع شروط السلطة الفلسطينية باستخدام صيغة محددة.

اقرأ أيضا: المتوالية الهندسية - كيفية حساب؟

ما هي السلطة الفلسطينية؟

فهم أن السلطة الفلسطينية هي سلسلة من المصطلحات التي يكون دائمًا ما يكون الاختلاف بين حد وسابقه ثابتًالوصف هذا التقدم من الصيغة ، نحتاج إلى إيجاد المصطلح الأولي ، أو أي ، المصطلح الأول للتقدم ، وسببه ، وهو هذا الاختلاف المستمر بين مصطلحات.

بشكل عام ، يتم كتابة السلطة الفلسطينية على النحو التالي:

(ال₁، أ₂،ال₃، أ₄،ال₅، أ₆،ال₇، أ₈)

المصطلح الأول هو أ₁ ومنه إلى يضيف السبب ص دعونا نجد الشروط اللاحقة.

ال₁ + ص = أ₂
ال₂ + ص = أ₃
ال₃ + ص = أ₄

...

لذا ، لكتابة التقدم الحسابي ، نحتاج إلى معرفة من هو مصطلحها الأول ولماذا.

مثال:

لنكتب أول ستة حدود لـ AP مع العلم أن حده الأول هو 4 ونسبته تساوي 2. معرفة

₁ = 4 و r = 2 ، نستنتج أن هذا التقدم يبدأ من 4 ويزيد من 2 إلى 2. لذلك ، يمكننا وصف شروطها.

ال₁ = 4

ال₂ = 4+ 2 = 6

ال₃ = 6 + 2 = 8

ال₄ = 8 + 2 = 10

ال₅= 10 + 2 = 12

ال₆ = 12 + 2 =14

BP هذا يساوي (4،6،8،10،12،14…).

مصطلح عام للسلطة الفلسطينية

إن وصف السلطة الفلسطينية من صيغة ما يسهل علينا العثور على أي من شروطها. للعثور على أي مصطلح لـ AP ، نستخدم الصيغة التالية:

اللا= أ1 + ص · (ن -1)

N → هو موضع المصطلح ؛

ال₁→ هو المصطلح الأول ؛

ص → السبب.

مثال:

ابحث عنه المصطلح العام للسلطة الفلسطينية (1،5،9،13 ، ...) والفصول 5 و 10 و 23.

الخطوة الأولى: ابحث عن السبب.

لإيجاد النسبة ، ببساطة احسب الفرق بين فترتين متتاليتين: 5 - 1 = 4 ؛ ثم ، في هذه الحالة ، r = 4.

الخطوة الثانية: ابحث عن المصطلح العام.

كيف نعرف أن ملف₁= 1 و r = 4 ، لنعوض في الصيغة.

ال_لا= أ₁ + ص (ن - 1)

ال_لا= 1 + 4 (ن - 1)

ال_لا= 1 + 4 ن - 4

ال_لا= 4n - 3 → المصطلح العام لـ PA

الخطوة الثالثة: بمعرفة المصطلح العام ، دعنا نحسب الحد الخامس والعاشر والثالث والعشرون.

المصطلح الخامس → n = 5
ال_لا= 4 ن - 3
ال₅=4·5 – 3
ال₅=20 – 3
ال₅=17

المصطلح العاشر → ن = 10
ال_لا= 4 ن - 3
ال₁₀=4·10 – 3
ال₁₀=40 – 3
ال₁₀=37

المصطلح الثالث والعشرون → n = 23
ال_لا= 4 ن - 3
ال₂₃=4·23 – 3
ال₂₃=92 – 3
ال₂₃=89

أنواع التعاقب الحسابي

هناك ثلاثة احتمالات للسلطة الفلسطينية. يمكن أن تكون متزايدة أو متناقصة أو ثابتة.

• تزايد

كما يوحي الاسم ، يتزايد التقدم الحسابي عندما ، مع زيادة الشروط ، تزداد قيمتها أيضًا.، أي أن الحد الثاني أكبر من الأول ، والثالث أكبر من الثاني ، وهكذا.

ال₁ 2 3 4 < …. لا

ولكي يحدث هذا ، يجب أن تكون النسبة موجبة ، أي أن السلطة الفلسطينية تزداد إذا كانت r> 0.

أمثلة:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

• تنازلي

كما يوحي الاسم ، يتناقص التقدم الحسابي عندما ، مع زيادة الشروط ، تنخفض قيمتهاأي أن المصطلح الثاني أقل من الأول والثالث أقل من الثاني وهكذا.

ال₁ > ال₂ > ال₃ > ال₄ > …. > ال_لا

ولكي يحدث هذا ، يجب أن تكون النسبة سالبة ، أي أن السلطة الفلسطينية تزداد إذا كانت r <0.

أمثلة:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

• ثابت

يكون التقدم الحسابي ثابتًا عندما ، مع زيادة الشروط ، تظل القيمة كما هي.، أي أن المصطلح الأول يساوي الثاني ، وهو ما يساوي المصطلح الثالث ، وهكذا.

ال₁ = ال₂ = ال₃ = ال₄ = …. = أ_لا

لكي تكون السلطة الفلسطينية ثابتة ، يجب أن تكون النسبة مساوية للصفر ، أي r = 0.

أمثلة:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

نرى أيضا: حاصل ضرب شروط PG - ما هي الصيغة؟

خصائص السلطة الفلسطينية

• الملكية الأولى

بالنظر إلى أي مصطلح للسلطة الفلسطينية ، فإن معدل علم الحساب بين خليفته وسلفه يساوي هذا المصطلح.

مثال:

ضع في اعتبارك التقدم (-1 ، 2 ، 5 ، 8 ، 11) والمصطلح 8. المتوسط ​​بين 11 و 5 يساوي 8 ، أي أن مجموع الخلف مع سلف رقم في السلطة الفلسطينية يساوي دائمًا هذا الرقم.

• الملكية الثانية

دائمًا ما يكون مجموع الحدود المتساوية متساويًا.

مثال:

مجموع شروط السلطة الفلسطينية

لنفترض أننا نريد إضافة مصطلحات BP الستة الموضحة أعلاه: (16،13،10،7،4،1). يمكننا ببساطة إضافة حدودهم - وفي هذه الحالة يكون هناك عدد قليل من المصطلحات ، فمن الممكن - ولكن إذا كان كذلك سلسلة أطول ، يجب عليك استخدام الخاصية. نعلم أن مجموع الحدود متساوية الأبعاد دائمًا ما يكون متساويًا ، كما رأينا في الخاصية ، لذلك إذا نفذنا ذلك جمع مرة واحدة واضرب في نصف مقدار الحدود ، لدينا مجموع أول ستة حدود من حرمان.

لاحظ أنه في المثال ، سنقوم بحساب مجموع الأول والأخير ، والذي يساوي 17 ، مضروبًا في نصف مقدار الحدود ، أي 17 في 3 ، وهو ما يساوي 51.

صيغة مجموع شروط السلطة الفلسطينية تم تطويره من قبل عالم الرياضيات غاوس ، الذي أدرك هذا التناظر في التدرجات الحسابية. الصيغة مكتوبة على النحو التالي:

س_لا → مجموع n من العناصر

ال₁ → الفصل الدراسي الأول

ال_لا → الفصل الأخير

ن → عدد المصطلحات

مثال:

احسب مجموع الأعداد الفردية من 1 إلى 2000.

القرار:

نحن نعلم أن هذا التسلسل هو PA (1،3،5 ،…. 1997, 1999). سيكون أداء المجموع كثيرًا من العمل ، لذا فإن الصيغة مناسبة تمامًا. من 1 إلى 2000 ، نصف الأرقام فردية ، لذلك هناك 1000 رقم فردي.

البيانات:

ن → 1000

ال₁ → 1

ال_لا → 1999

الوصول أيضًا إلى: مجموع PG المحدود - كيف نفعل ذلك؟

استيفاء الوسائل الحسابية

بمعرفة فترتين غير متتاليتين للتقدم الحسابي ، من الممكن إيجاد كل المصطلحات التي تقع بين هذين الرقمين ، ما نعرفه باسم استيفاء الوسائل الحسابية.

مثال:

لنقحم 5 متوسطات حسابية بين 13 و 55. هذا يعني أن هناك 5 أرقام بين 13 و 55 وتشكل تقدمًا.

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

للعثور على هذه الأرقام ، من الضروري معرفة السبب. نحن نعرف المصطلح الأول (₁ = 13) وكذلك الحد السابع (₇= 55) لكننا نعلم أن:

ال_لا = ال₁ + ص · (ن - 1)

عندما ن = 7 → أ_لا= 55. نعرف أيضًا قيمة a₁=13. لذلك ، استبداله في الصيغة ، علينا:

55 = 13 + ص · (7-1)

55 = 13 + 6 ص

55-13 = 6 ص

42 = 6 ص

ص = 42: 6

ص = 7.

بمعرفة السبب ، يمكننا إيجاد حدود بين 13 و 55.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

التسلسل من 1 إلى 10 هو تطور حسابي للنسبة 1.

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - (Enem 2012) - ورق اللعب نشاط يحفز التفكير. إحدى الألعاب التقليدية هي لعبة Solitaire ، والتي تستخدم 52 بطاقة. في البداية ، تم تشكيل سبعة أعمدة بالبطاقات. يحتوي العمود الأول على بطاقة واحدة ، والثاني به ورقتان ، والثالث به ثلاث بطاقات ، والرابع به أربع بطاقات ، وهكذا. تباعا إلى العمود السابع ، الذي يحتوي على سبع أوراق ، وما يتكون منها الكومة ، وهي الأوراق غير المستخدمة في الأعمدة.

عدد البطاقات التي تتكون منها الكومة هو:

أ) 21.
ب) 24.
ج) 26.
د) 28.
هـ) 31.

القرار

البديل ب.

دعونا أولاً نحسب العدد الإجمالي للبطاقات التي تم استخدامها. نحن نعمل مع AP الذي يكون شرطه الأول 1 والنسبة أيضًا 1. إذن ، بحساب مجموع الصفوف السبعة ، الحد الأخير هو 7 وقيمة n هي أيضًا 7.

مع العلم أن إجمالي عدد البطاقات المستخدمة كان 28 وأن هناك 52 بطاقة ، تتكون الكومة من:

52 - 28 = 24 بطاقة

السؤال 2 - (Enem 2018) قرر مجلس المدينة لبلدة صغيرة في الداخل وضع أعمدة للإضاءة حول على طول طريق مستقيم يبدأ من ميدان مركزي وينتهي بمزرعة في المنطقة. ريفي. نظرًا لأن الساحة بها إضاءة بالفعل ، فسيتم وضع القطب الأول على بعد 80 مترًا من المربع ، والثاني على ارتفاع 100 متر ، والثالث على ارتفاع 120 مترًا ، وهكذا. على التوالي ، مع الاحتفاظ دائمًا بمسافة 20 مترًا بين الأعمدة ، حتى يتم وضع آخر مشاركة على مسافة 1380 مترًا من ميدان.

إذا كان بإمكان المدينة دفع مبلغ 8000 ريال كحد أقصى لكل منشور تم وضعه ، فإن أعلى مبلغ يمكنك إنفاقه على وضع هذه المنشورات هو:

أ) 512 000.00 ريال برازيلي.
ب) 520.000.00 ريال برازيلي.
ج) 528000.00 ريال برازيلي.
د) 552،000.00 ريال برازيلي.
هـ) 584 000.00 ريال برازيلي.

القرار

البديل C.

نعلم أنه سيتم وضع الأعمدة كل 20 مترًا ، أي r = 20 ، وأن الحد الأول من هذه السلطة الفلسطينية هو 80. نعلم أيضًا أن الحد الأخير هو 1380 ، لكننا لا نعرف عدد الحدود بين 80 و 1380. لحساب هذا العدد من المصطلحات ، دعنا نستخدم صيغة المصطلح العام.

البيانات: أ_لا = 1380; ال₁=80; و r = 20.

ال_لا= أ₁ + ص · (ن -1)

سيتم وضع 660 وظيفة. إذا كانت تكلفة كل واحدة 8000 ريال برازيلي كحد أقصى ، فإن أعلى مبلغ يمكن إنفاقه مع وضع هذه الوظائف هو:

66· 8 000 = 528 000

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا 

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm