المصفوفة مثلثية عندما تكون العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي أو العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي كلها خالية. يوجد تصنيفان محتملان لهذا النوع من المصفوفات: الأول هو عندما تكون العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي فارغة ، مما يؤدي إلى إنشاء مصفوفة مثلثة أقل ؛ والثاني عندما تكون العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي فارغة ، مما يؤدي إلى إنشاء مصفوفة مثلثة عليا.
لحساب محدد المصفوفة المثلثية بواسطة قاعدة Sarrus ، ما عليك سوى إجراء الضرب القطري الرئيسي ، لأن جميع المضاعفات الأخرى ستكون كلها مساوية للصفر.
اقرأ أيضا: المصفوفة - ما هي والأنواع الموجودة
أنواع المصفوفة المثلثية
لفهم ماهية المصفوفة المثلثية ، من المهم أن تتذكر القطر الرئيسي للمصفوفة المربعة ، وهي المصفوفة التي بها نفس عدد الصفوف والأعمدة. القطر الرئيسي للمصفوفة هو الحدود أ.اي جاي، حيث i = j ، أي أنها المصطلحات التي يكون فيها رقم الصف مساويًا لرقم العمود.
مثال:
لفهم ماهية المصفوفة المربعة وقطرها الرئيسي ، دعنا نعرف ما هي المصفوفة المثلثة وتصنيفاتها. يوجد تصنيفان محتملان للمصفوفة المثلثية:
الالمصفوفة المثلثية السفلية والمصفوفة المثلثية العلوية.- مصفوفة مثلثة منخفضة: يحدث عندما تكون جميع الحدود الموجودة أعلى القطر الرئيسي مساوية للصفر وتكون الشروط أسفل القطر الرئيسي كذلك أرقام حقيقية.
مثال رقمي:
- مصفوفة مثلثة عليا: يحدث عندما تكون جميع الحدود الموجودة أسفل القطر الرئيسي مساوية للصفر والشروط الموجودة أعلى القطر الرئيسي هي أرقام حقيقية.
مثال رقمي:
مصفوفة قطرية
المصفوفة القطرية هي أ حالة معينة من المصفوفة المثلثية. في ذلك ، المصطلحات الوحيدة غير الصفرية هي تلك الموجودة في القطر الرئيسي. الشروط الموجودة أعلى أو أسفل القطر الرئيسي كلها تساوي صفرًا.
أمثلة عددية لمصفوفة قطرية:
محدد مصفوفة مثلثة
إعطاء مصفوفة مثلثة ، عند حساب محدد هذه المصفوفة بواسطة حكم ساروس، يمكنك أن ترى أن جميع عمليات الضرب تساوي صفرًا ، باستثناء ضرب حد القطر الرئيسي.
det (A) = أ11 · أ22· أ33 + ال12 · أ23 · 0 + ال13 · 0 · 0 - ( ال13 ·ال23 ·0 + ال11 · أ23 · 0 + ال12 · 0· أ33)
لاحظ أنه في جميع المصطلحات باستثناء الأول ، يعد الصفر أحد العوامل ، والجميع عمليه الضرب بصفر يساوي صفرًا ، لذلك:
det (A) = أ11 · أ22· أ33
لاحظ أن هذا هو حاصل الضرب بين شروط القطر الرئيسي.
بغض النظر عن عدد الصفوف والأعمدة التي تحتويها المصفوفة المثلثية ، فإن حجمها المحدد سيكون دائمًا مساويًا لمنتج شروط القطر الرئيسي.
نرى أيضا: المحدد - الميزة المطبقة على المصفوفات المربعة
خصائص المصفوفة المثلثية
المصفوفة المثلثية لها بعض الخصائص المحددة.
- الملكية الأولى: محدد المصفوفة المثلثية يساوي حاصل ضرب شروط القطر الرئيسي.
- الخاصية الثانية: حاصل ضرب المصفوفتين المثلثتين هو مصفوفة مثلثة.
- الملكية الثالثة: إذا كان أحد شروط القطر الرئيسي للمصفوفة المثلثية يساوي صفرًا ، فإن محددها سيكون صفرًا ، وبالتالي لن يكون قابلاً للعكس.
- الملكية الرابعة: المصفوفة العكسية لمصفوفة مثلثة هي أيضًا مصفوفة مثلثة.
- العقار الخامس: مجموع المصفوفتين المثلثتين العلويتين عبارة عن مصفوفة مثلثة عليا ؛ وبالمثل ، فإن مجموع المصفوفتين المثلثتين السفليتين هو مصفوفة مثلثة سفلية.
تمارين حلها
1) بالنظر إلى المصفوفة A ، فإن قيمة محدد A هي:
أ) 2
ب) 0
ج) 9
د) 45
هـ) 25
القرار
البديل د.
هذه المصفوفة عبارة عن مثلث سفلي ، لذا فإن محددها هو ضرب الحدود على القطر الرئيسي.
det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45
2) احكم على البيانات التالية.
أنا → كل مصفوفة مربعة مثلثة.
II → مجموع المصفوفة المثلثية العلوية ذات المصفوفة المثلثية السفلية دائمًا ما تكون مصفوفة مثلثة.
III → كل مصفوفة هوية قطرية هي مصفوفة مثلثة.
الترتيب الصحيح هو:
أ) الخامس ، الخامس ، الخامس.
ب) F ، F ، F.
ج) F ، V ، F.
د) F ، F ، V.
ه) الخامس ، الخامس ، ف.
القرار
البديل د.
أنا → خطأ ، لأن كل مصفوفة مثلثة مربعة ، لكن ليست كل مصفوفة مربعة مثلثة.
II → خطأ ، لأن المجموع بين المصفوفة المثلثية العلوية والسفلية لا ينتج عنه دائمًا مصفوفة مثلثة.
III → صحيح ، لأن المصطلحات المختلفة عن القطر تساوي صفرًا.
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm
