الترتيب مع التكرار: ما هو ، الصيغة ، الأمثلة

نحن نعرف كيف كرر الترتيب ، أو الترتيب الكامل، كل عمليات إعادة التجميع المرتبة التي يمكننا تكوينها باستخدام ك عناصر من مجموعة مع لا العناصر ، مع عنصر لا قد تظهر أكثر من مرة. ال تحليل اندماجي إن مجال الرياضيات هو الذي يطور تقنيات العد لإيجاد عدد المجموعات الممكنة في مواقف معينة.

من بين هذه التجمعات ، هناك ترتيب مع التكرار ، حاضر ، على سبيل المثال ، في إنشاء كلمات المرور ولوحات الترخيص، بين الاخرين. لحل هذه المواقف ، نطبق معادلة الترتيب مع التكرار كأسلوب عد. توجد صيغ مختلفة لحساب الترتيب المتكرر والترتيب غير المتكرر ، لذلك من المهم معرفة كيفية التفريق بين كل حالة من هذه المواقف من أجل تطبيق أسلوب العد الصحيح.

اقرأ أيضا: المبدأ الأساسي للعد - المفهوم الرئيسي للتحليل التوافقي

ما هو الترتيب مع التكرار؟

هناك ترتيب مع التكرار في إنتاج لوحات المركبات. [1]

في حياتنا اليومية ، نواجه مواقف تتضمن تسلسلات وتجمعات تظهر في اختر كلمات المرور من الشبكات الاجتماعية أو البنوك وأيضًا في أرقام الهواتف أو المواقف التي تتضمن طوابير. على أي حال ، نحن محاطون بمواقف تشمل هذه التجمعات.

على سبيل المثال ، على لوحات الترخيص المكونة من ثلاثة أحرف وأربعة أرقام ، يوجد حرف سلسلة فريدة من نوعها حسب الحالة تحدد كل سيارة ، في هذه الحالة ، نعمل معها ترتيبات. عندما يكون من الممكن تكرار العناصر ، فإننا نعمل بالترتيب الكامل أو الترتيب مع التكرار.

نظرا لمجموعة مع لا العناصر ، نعرفها بالترتيب مع التكرار كل التجمعات التي يمكن أن نتشكل معها ك عناصر من هذا جلس، حيث يمكن تكرار عنصر أكثر من مرة. على لوحات ترخيص المركبات ، على سبيل المثال ، هو عدد لوحات الترخيص الممكنة التي يمكننا تشكيلها ، بأخذها مع مراعاة أن لديهم ثلاثة أحرف وأربعة أرقام وأنه يمكن تكرار الأحرف والأرقام.

لحساب عدد ترتيبات التكرار الممكنة ، نستخدم صيغة بسيطة للغاية.

صيغة الترتيب مع التكرار

للعثور على مبلغ الترتيب الكامل لـ لا عناصر مميزة مأخوذة من ك في

أوه، في حالة معينة تسمح بتكرار عنصر ما ، نستخدم الصيغة التالية:

هواء_لا,_ك = لا^ك

AR → الترتيب مع التكرار
لا → عدد العناصر في المجموعة
ك → عدد العناصر التي سيتم اختيارها

نرى أيضا: تركيبة بسيطة - عد جميع المجموعات الفرعية لمجموعة معينة

كيفية حساب رقم الترتيب المتكرر

لفهم كيفية تطبيق صيغة الترتيب المتكرر بشكل أفضل ، راجع المثال أدناه.

مثال 1:

كلمة سر البنك تتكون من خمسة أرقام فقط ، ما هو عدد كلمات السر الممكنة؟

نعلم أن كلمة المرور عبارة عن سلسلة مكونة من خمسة أرقام وأنه لا يوجد قيود على التكرار ، لذلك سنطبق صيغة الترتيب مع التكرار. يجب على المستخدم أن يختار ، من بين 10 أرقام ، والتي ستؤلف كل من الأرقام الخمسة لكلمة المرور هذه ، أي أننا نريد حساب الترتيب بتكرار 10 عناصر مأخوذة كل خمسة.

هواء_10,5 = 10⁵ = 10.000

لذلك هناك 10000 احتمال لكلمة المرور.

مثال 2:

مع العلم أن لوحات ترخيص المركبات تتكون من ثلاثة أحرف وأربعة أرقام ، ما هو عدد اللوحات التي يمكن تشكيلها؟

تتكون أبجديتنا من 26 حرفًا ، وهناك 10 أرقام محتملة ، لذلك دعونا نقسم إلى مصفوفتين كاملتين ونجد عدد المصفوفات الممكنة للأحرف والأرقام.

هواء_26,3 = 26³ = 17.576
هواء₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

وبالتالي ، فإن إجمالي الترتيبات الممكنة هو:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

الفرق بين الترتيب البسيط والترتيب المتكرر

يعد التفريق بين الترتيب البسيط والترتيب مع التكرار أمرًا ضروريًا لحل المشكلات المتعلقة بالموضوع. الشيء المهم للتمايز هو إدراك أنه عندما نتعامل مع موقف يوجد فيه إعادة تجميع يكون ترتيبها مهمًا ، فمن المهم لترتيب ما ، وإذا سمحت عمليات إعادة التجميع هذه بالتكرار بين المصطلحات ، فإنها تكون ترتيبًا مع التكرار ، ويُعرف أيضًا باسم الترتيب اكتمال. عندما لا تسمح إعادة التجميع بالتكرار ، حول ترتيب بسيط.

تختلف صيغة الترتيب البسيط عن تلك التي نستخدمها لترتيب التكرار.

لقد رأينا أمثلة لتكرار الترتيب سابقًا ، انظر الآن إلى مثال على الترتيب البسيط

مثال:

يريد باولو أن يضع على الرف الخاص به ثلاثة من كتبه المدرسية العشرة ، وكلها مختلفة عن بعضها البعض ، كم عدد الطرق التي يمكنه بها تنظيم هذه الكتب؟

لاحظ ، في هذه الحالة ، أن الترتيب مهم ، لكن لا توجد تكرارات ، لأنه ترتيب بسيط. للعثور على عدد التجمعات الممكنة ، يتعين علينا:

لمعرفة المزيد حول هذا الشكل الآخر من التجميع المستخدم في التحليل التجميعي ، اقرأ النص: الترتيب بسيط.

تمارين تم حلها:

السؤال رقم 1 - (Enem) طلب أحد البنوك من عملائه إنشاء كلمة مرور شخصية مكونة من ستة أرقام ، تتكون فقط من أرقام من 0 إلى 9 ، للوصول إلى الحساب الجاري عبر الإنترنت. ومع ذلك ، أوصى متخصص في أنظمة الأمن الإلكترونية بأن تقوم إدارة البنك بإعادة تسجيل مستخدميها ، طالبة ذلك كل واحد منهم ، إنشاء كلمة مرور جديدة من ستة أرقام ، مما يسمح الآن باستخدام 26 حرفًا من الأبجدية ، بالإضافة إلى الأرقام من 0 إلى 9. في هذا النظام الجديد ، تم اعتبار كل حرف كبير مختلفًا عن نسخته الصغيرة. بالإضافة إلى ذلك ، تم حظر استخدام أنواع أخرى من الشخصيات.

تتمثل إحدى طرق تقييم التغيير في نظام كلمة المرور في التحقق من معامل التحسين ، وهو سبب العدد الجديد من إمكانيات كلمة المرور فيما يتعلق بالنظام القديم. معامل تحسين التغيير الموصى به هو:

القرار

البديل أ

كلمة المرور القديمة عبارة عن مصفوفة مكررة ، حيث يمكن أن تتكون من جميع الأرقام ، لذا فهي عبارة عن مصفوفة من 10 عناصر مأخوذة كل ستة.

هواء_10,6 = 10⁶

يمكن أن تتكون كلمة المرور الجديدة من 10 أرقام وأيضًا أحرف كبيرة (26 حرفًا) و أحرف صغيرة (26 حرفًا) ، لذا فإن إجمالي كلمة المرور لكل رقم هو 10 + 26 + 26 = 62 الاحتمالات. نظرًا لوجود ستة أرقام ، فسنحسب الترتيب بتكرار 62 عنصرًا مأخوذًا كل ستة.

هواء_62,6 = 62⁶

ال السبب من العدد الجديد من إمكانيات كلمة المرور مقارنة بالإمكانية القديمة يساوي 62⁶/10⁶.

السؤال 2 - (Enem 2017) ستقوم شركة ببناء موقعها على الإنترنت وتأمل في جذب جمهور يقارب المليون عميل. للوصول إلى هذه الصفحة ، ستحتاج إلى كلمة مرور بتنسيق تحدده الشركة. هناك خمسة خيارات تنسيق يقدمها المبرمج ، موصوفة في الجدول ، حيث يمثل الحرفان "L" و "D" ، على التوالي ، الحرف الكبير والرقم.

يمكن تكرار الحروف الأبجدية ، من بين 26 ممكنًا ، وكذلك الأرقام ، من بين الأرقام العشرة الممكنة ، في أي من الخيارات.

تريد الشركة اختيار خيار التنسيق الذي يكون عدد كلمات المرور المميزة المحتملة فيه أكبر من العدد المتوقع للعملاء ولكن هذا الرقم لا يتجاوز ضعف العدد المتوقع عملاء.

القرار

البديل ه

من خلال حساب كل الاحتمالات ، نريد العثور على كلمة المرور التي تحتوي على أكثر من مليون احتمال وأقل من مليوني احتمال.

أنا → LDDDDD

26 ·10⁵ أكبر من مليونيْن ، لذا فهو لا يلبي طلب الشركة.

الثاني → DDDDDD

10⁶ يساوي مليون ، فلا يلبي طلب الشركة.

الثالث → LLDDDD

26² · 10⁴ أكبر من مليونيْن ، لذا فهو لا يلبي طلب الشركة.

IV → DDDDD

10⁵ إنها أقل من مليون فلا تفي بطلب الشركة.

V → LLLDD

26³ · 10² ما بين مليون ومليونين ، لذلك يعتبر قالب كلمة المرور هذا مثاليًا.

رصيد الصورة

[1] رافائيل بيرلاندي / صراع الأسهم

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm