В алгебраїчні дроби - це дробові алгебраїчні вирази, які мають принаймні один невідомий у знаменнику. Часто існують фактори, які фігурують як у чисельнику, так і в знаменнику цих дробів, залишаючи можливість їх спрощення. Багато ігнорують те, що існують деякі правила, вивчені з початку початкової школи, які керують цим спрощенням. Тому будь-який спрощення хто порушує ці правила, має великий потенціал помилитися. Тому нижче ми перелічимо три найпоширеніші помилки в спрощенні алгебраїчних дробів та правильний спосіб виконання цих процедур.
Перш ніж продовжувати, ми рекомендуємо прочитати статтю Спрощення алгебраїчного дробу для тих, хто ще має запитання щодо цього питання.
1 - вирізати елементів дорівнює за чисельником та знаменником
Це найпоширеніша помилка. На початку навчання учні хочуть «вирізати» всі ті самі елементи в чисельнику та знаменнику a алгебраїчна дріб. Однак вони не є рівними елементами, які потрібно "вирізати", але, так, фактори дорівнює.
Правило таке: Якщо є рівні фактори в чисельнику та знаменнику ці фактори можна вирізати. Пам'ятайте:
поділ між ними буде 1, що не впливає на поділ або множення. Оскільки ці фактори просто зникають, цей процес став називатися “різанням”. Також пам’ятайте, що числа у множенні називаються множниками.Елементи, що додаються або віднімаються ти не можеш бути вирізаним, оскільки його поділ не призводить до 1. Таким чином, взявши приклад нижче, який включає суму, ми побачимо правильний і неправильний спосіб виконання спрощення.
Приклад: Спростіть наступний алгебраїчний дріб.
4x + 4y
x + y
Невірно:
4х + 4р = 4 + 4 = 8
х + р
Зауважте, що обрізані невідомі числа (виділені червоним кольором) не є чинниками множення, а скоріше частинами додавання. Отже, виріз, зроблений вище, неправильний.
Праворуч:
4x + 4y
x + y
створення процесу множник на множники за загальним фактором ми матимемо:
4(х + у) = 4
x + y
У чисельнику алгебраїчного дробу ми знаходимо множення, де множники дорівнюють 4 і x + y. У знаменнику ми знаходимо лише x + y. Зверніть увагу, що x + y - це коефіцієнт, оскільки він не додається і не віднімається жодним іншим числом чи невідомими. Для кращого огляду просто поставте дужки:
4(х + у) = 4
(х + у)
Якби замість x + y у знаменнику було лише число 4, це також можна було б спростити, вирізавши лише число 4.
А тепер подивіться на випадок, коли цього не могло бути спрощення:
4(х + у)
x + y + k
* k - будь-яке число, невідоме або одночленне.
2 - Факторинг ідеального квадратного тричлена з використанням загального факторного процесу в доказах
Майже коли багаточлен в алгебраїчна частка, це повинно враховуватися. Після цього слід порівняти фактори, присутні в чисельнику та знаменнику, для пошуку тих, які можуть бути спрощений (інше слово для “вирізати”).
Що відбувається, так це те, що студенти стикаються з ідеальний трикутник квадрата і забудьте, що це результат а чудовий продукт, просто повернувшись до цього продукту для виконання факторизація. Отже, робиться спроба довести загальні фактори як докази.
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Люди, які роблять подібні спроби, часто роблять вищевказану помилку.
Зверніть увагу на наступний приклад, який також показує правильну форму та найчастішу неправильну форму розв’язання.
Приклад: Спростіть наступний алгебраїчний дріб.
4x2 + 8xy + 4y2
x + y
Невірно:
4x2 + 8xy + 4y2
x + y
4 (х2 + 2xy + y2)
x + y
або
4 (x + 2y) + 4y2
x + y
Зауважте, що спростити навіть неможливо саме тому, що процес факторингу не був проведений належним чином.
Праворуч:
4x2 + 8xy + 4y2
x + y
(2x + 2y)2
x + y
(2x + 2y) (2x + 2р)
x + y
На цьому кроці зауважте, що число 2 є спільним для всіх елементів двох множників. У цій ситуації необхідно факторизувати за фактором, спільним для двох факторів. В результаті ми отримаємо:
2 · (x + y) · 2 · (x + у)
x + y
2 · 2 · (x + y) (x + у)
x + y
4 · (x + y) (x + у)
x + y
Так, так, ми можемо вирізати коефіцієнт, який повторюється і в чисельнику, і в знаменнику.
4 · (x + y)(х + у)= 4 · (x + y)
x + y
3 - Плутайте чудові продукти
Зверніть увагу на перелік помітних продуктів, нижче яких наведено квадрати або добуток суми на різницю.
(х + у)2 = х2 + 2xy + y2
(х - у)2 = х2 –2xy + y2
(x + y) (x - y) = x2 - y2
Кожен раз, коли поліном приймає форму ідеального квадратного тричлена або двох квадратних різниць - знайдених у права частина рівності вище -, можна замінити їх чудовим продуктом, який їх породив (лівий бік відповідні).
В спрощення алгебраїчних дробів, забування того, що чудовий добуток відповідає ідеальному квадратному тричлена, є дуже повторюваною помилкою - особливо, коли мова йде про два квадратних різниці. Коли він з’являється, загальноприйнято уявляти, що він уже врахований з факторизації або що показник 2 можна поставити «в докази» (і, звичайно, це неможливо зробити).
Зверніть увагу на такий приклад, що включає різницю у двох квадратах:
Приклад: Спростіть такий алгебраїчний дріб.
4x2 - 4р2
x + y
Правильно:
Пам'ятайте, що чисельник - це різниця у два квадрати, і його можна замінити на:
(2x - 2y) (2x + 2y)
x + y
Спрощення буде здійснено шляхом доведення двох, ще раз, на два фактори.
2 · (х - у) · 2 · (x + y)
x + y
2 · 2 · (x - y) · (X + y)
x + y
4 · (х - у)·(х + у) = 4 · (х - у)
x + y
Зверніть увагу, що в різниці двох квадратів в одному з факторів є додавання, а в іншому - віднімання.
Неправильно:
Використовуйте один із двох інших відомих випадків товару:
4x2 - 4р2
x + y
(2x + 2y) (2x + 2y)
x + y
Або "поставте показник показника 2":
4x2 - 4р2
x + y
4 (х - у)2
x + y
Щоб уникнути цих двох останніх помилок, пропонуємо прочитати текст сума квадрат, Спільний фактор доказів і Потенціювання.
Гарних навчань!
Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику
