Рівняння: що це таке, основні поняття, типи, приклади

Один рівняння це математичне речення, яке має рівність і принаймні одне невідоме, тобто коли ми маємо участь а алгебраїчний вираз і рівність. Вивчення рівнянь вимагає попередніх знань, таких як вивчення числові вирази. Метою рівняння є знайти невідоме значення що перетворює рівність на тотожність, тобто справжню рівність.

Читайте також:Операції з дробами - як обчислити?

Основні поняття для вивчення рівнянь

Рівняння - це математичне речення, яке має a невідомо, принаймні, і a рівність, і ми можемо класифікувати його за кількістю невідомих. Див. Кілька прикладів:

а) 5т - 9 = 16

Рівняння має невідоме, представлене буквою т.

б) 5x + 6y = 1

Рівняння має дві невідомі, представлені буквами х і р.

в) т⁴ - 8z = x

Рівняння має три невідомі, представлені буквами гаразд,z і х.

Яким би не було рівняння, ми повинні врахувати ваше Всесвіт встановлений,складається з усіх можливих значень, які ми можемо призначити невідомому, цей набір представлений літерою U.

• Приклад 1

Розглянемо рівняння x + 1 = 0 та його можливий розв’язок x = –1. А тепер подумайте, що всесвітом множини рівняння є природний.

Зверніть увагу, що передбачуване рішення не належить до множини всесвіту, оскільки його елементи - це всі можливі значення, які може прийняти невідоме, тому x = –1 не є рішенням рівняння.

Звичайно, чим більша кількість невідомих, тим складніше визначити своє рішення. THE рішення або джерело Рівняння - це сукупність усіх значень, які, призначаючись невідомим, роблять рівність істинною.

• Приклад 2

Розглянемо рівняння з невідомим 5x - 9 = 16, перевірте, що x = 5 є розв’язком або коренем рівняння.

Так що можна це сказати х = 5 є рішенням рівняння, ми повинні підставити це значення у вираз, якщо ми знайдемо справжню рівність, число буде перевіреним рішенням.

5х – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

Переконайтеся, що знайдена рівність відповідає дійсності, тому ми маємо тотожність і число 5 є рішенням. Отже, можна сказати, що набір рішень задається:

S = {5}

• Приклад 3

Розглянемо рівняння t² = 4 і перевірте, чи t = 2 чи t = –2 є рішеннями рівняння.

Аналогічно, ми повинні підставити значення t у рівняння, однак, зверніть увагу, що у нас є два значення для невідомого, і тому ми повинні виконувати перевірку у два етапи.

Крок 1 - Для t = 2

т²= 4

2² = 4

4 = 4

Крок 2 - Для t = –2

т² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

Дивіться для t = 2 і t = - 2 ми знаходимо тотожність, тому ці два значення є рішеннями рівняння. Таким чином, можна сказати, що набір рішень:

S = {2, –2}

Типи рівнянь

Ми також можемо класифікувати рівняння щодо положення, яке займають невідомі. Перегляньте основні типи:

• Поліноміальні рівняння

В поліноміальні рівняння характеризуються тим, що мають поліном, рівний нулю. Див. Кілька прикладів:

The) 6т³+ 5т²–5t = 0

Цифри6, 5 і –5 - коефіцієнти рівняння.

Б) 9х – 9= 0

Цифри 9 і – 9 - коефіцієнти рівняння.

в) у²– р – 1 = 0

Цифри 1, – 1 і – 1 - коефіцієнти рівняння.

• Рівняння ступенів

Поліноміальні рівняння можна класифікувати за ступенем. Як і поліноми, ступінь поліноміального рівняння задається формулою найвища потужність, що має ненульовий коефіцієнт.

З попередніх прикладів a, b та c ми маємо, що ступені рівнянь:

а) 6т³ + 5т² –5t = 0 → Поліноміальне рівняння третій ступінь

б) 9х - 9 = 0 → Поліноміальне рівняння перший ступінь

ç) р² - y - 1 = 0 → Поліноміальне рівняння вища школа

Читайте теж: квадратне рівнянняu: як обчислити, типи, приклади

• раціональні рівняння

Раціональні рівняння характеризуються наявністю їх невідомі в знаменнику a дріб. Див. Кілька прикладів:

Читайте теж: Що таке раціональні числа?

• ірраціональні рівняння

В ірраціональні рівняння характеризуються наявністю своїх невідомі всередині n-го кореня, тобто всередині радикала, що має індекс n. Див. Кілька прикладів:

• експоненційні рівняння

В експоненційні рівняння є невідомі, розташовані в експоненті з потенція. Див. Кілька прикладів:

• логарифмічне рівняння

В логарифмічні рівняння характеризуються наявністю одна або кілька невідомих в якійсь частині логарифм. Ми побачимо, що, застосовуючи визначення логарифму, рівняння потрапляє в деякі з попередніх випадків. Див. Кілька прикладів:

Дивіться також: Рівняння першого ступеня з невідомим

Як розв’язати рівняння?

Щоб вирішити рівняння, ми повинні вивчити методи, що використовуються в кожному типі, тобто для кожного типу рівняння існує різний метод визначення можливих коренів. Однак усі ці методи є випливає з принципу еквівалентності, за допомогою нього можна вирішити основні типи рівнянь.

• Принцип еквівалентності

Другий принцип еквівалентності: ми можемо вільно діяти на одній стороні рівності, доки робимо те саме на іншій стороні рівності. Для поліпшення розуміння ми назвемо ці сторони.

Тому принцип еквівалентності стверджує, що це можливо оперувати першу кінцівку вільно, доки та сама операція робиться з другим членом.

Для того, щоб перевірити принцип еквівалентності, розглянемо таку рівність:

5 = 5

Ходімо зараз додавати з обох сторін число 7, і зауважте, що рівність все одно буде справедливою:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

Ходімо зараз відняти 10 з обох сторін рівності, зауважте ще раз, що рівність все одно буде справедливою:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

бачимо, що ми можемо примножувати або поділитися і підняти до a потенція або навіть витягти a джерело, поки це буде зроблено для першого та другого члена, рівність завжди буде виконуватися.

Для розв’язання рівняння ми повинні використовувати цей принцип разом із знанням згаданих операцій. Щоб полегшити розробку рівнянь, опустимо операцію, виконану над першим членом, рівнозначно сказанню, що ми передаємо число іншому члену, обмінюючи знак на протилежний.

Ідея визначити розв’язок рівняння завжди ізолювати невідоме, використовуючи принцип еквівалентності, Дивіться:

• Приклад 4

Використовуючи принцип еквівалентності, визначте множину рішень рівняння 2x - 4 = 8, знаючи, що множина Всесвіту задана як: U = ℝ.

2x - 4 = 8

Щоб розв’язати поліноміальне рівняння першого ступеня, ми повинні залишити невідоме в першому члені ізольованим. Для цього ми візьмемо число –4 у першого члена, додавши по 4 з обох сторін, оскільки –4 + 4 = 0.

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

Зверніть увагу, що виконання цього процесу еквівалентно простому передаванню числа 4 з протилежним знаком. Отже, щоб виділити невідомий х, передамо число 2 другому члену, оскільки він множить х. (Запам’ятайте: обернена операція множення - це ділення). Це було б те саме, що розділити обидві сторони на 2.

Отже, набір рішень задається:

S = {6}

• Приклад 5

Розв’яжіть рівняння 2^{х + 5} = 128, знаючи, що множина Всесвіту задана U = ℝ.

Щоб розв’язати експоненціальне рівняння, спочатку використаємо наступне властивість потенціювання:

^{m + n} =^м · А^немає

Ми також використаємо той факт, що 2² = 4 і 2⁵ = 32.

2^{х + 5} = 128

2^х · 2⁵ = 128

2^х · 32 = 128

Зверніть увагу, що можна розділити обидві сторони на 32, тобто передати число 32 другому члену шляхом ділення.

Отже, ми маємо:

2^х = 4

2^х = 2²

Єдиним значенням x, яке задовольняє рівність, є число 2, тому x = 2, а набір рішень задано:

S = {2}

Рівняння присутні в декількох галузях науки.

розв’язані вправи

питання 1 - Розглянемо множину всесвіту U = ℕ і визначимо рішення наступного ірраціонального рівняння:

Дозвіл

Щоб розв’язати це рівняння, нам слід зайнятися усуненням кореня першого члена. Зверніть увагу, що для цього необхідно підняти першого члена до того самого індексу, що і корінь, тобто до куба. За принципом еквівалентності ми також повинні підняти другого члена рівності.

Зверніть увагу, що тепер ми повинні розв’язати поліноміальне рівняння другого ступеня. Передамо число 11 другому члену (віднімемо 11 по обидві сторони рівності), щоб виділити невідомий х.

х² = 27 – 11

х² = 16

Тепер, щоб визначити значення x, подивіться, що є два значення, які задовольняють рівність, x ’= 4 або x’ ’= –4, один раз:

4² = 16

і

(–4)² = 16

Однак у постановці питання зауважте, що дана сукупність всесвіту є набором натуральних чисел, а число –4 йому не належить, отже, набір рішень задається:

S = {4}

питання 2 - Розглянемо поліноміальне рівняння х² + 1 = 0, знаючи, що множина Всесвіту задана U = ℝ.

Дозвіл

Для принципу еквівалентності відніміть від обох членів 1.

х² + 1 – 1= 0 – 1

х² = – 1

Зверніть увагу, що рівність не має рішення, оскільки множина всесвіту є дійсними числами, тобто всіма значення, які невідоме може прийняти, є дійсними, і немає дійсного числа, яке, коли воно в квадраті, є негативний.

1² = 1

і

(–1)² = 1

Отже, рівняння не має розв’язку у множині дійсних, і, отже, можна сказати, що набір розв’язків порожній.

S = {}

Робсон Луїс
Вчитель математики