THE окружність - це плоска геометрична фігура, утворена об'єднання рівновіддалених точок, тобто вони мають однакову відстань від нерухомої точки, яка називається центром. Вивчення окружності також присутнє в аналітична геометрія, в якому можна вивести рівняння, яке його представляє.
хоча коло і окружність являють собою плоскі геометричні фігури з деякими спільними елементами, що зазвичай призводить до сумнівів, ці фігури представляють важливі відмінності, особливо щодо розмірності.
Читайте також: Відстань між двома точками - важливе поняття аналітичної геометрії
елементи кола
Зверніть увагу на окружність:
Точка Ç це називається центр кола, і зауважимо, що точки А і В належать йому. Відрізок, що з’єднує кінці кола, що проходить через центр, називається діаметр. На попередній окружності, тоді ми повинні діаметр - сегмент АВ.
До ділимо діаметр навпіл, давайте отримаємо радіус окружності, тобто радіус (r) кола це сегмент, який поєднує центр і кінець. У цьому випадку радіус - це сегмент CB. Ми можемо встановити математичну залежність між цими двома елементами, оскільки діаметр вдвічі більший за радіус.
d = 2 · r
Приклад
Визначте радіус кола, діаметр якого становить 40 см.
Ми знаємо, що діаметр вдвічі більший за радіус, ось так:
довжина окружності
Розглянемо коло, радіус якого вимірює r. О довжина або периметр окружності дається добутком çпостійна пі (π) вдвічі більше радіуса.
Коли ми обчислюємо довжину або периметр кола, ми визначаємо розмір лінії зеленим на попередньому кресленні, і для цього просто замініть значення радіуса у формулі, яка переходить до малюнок.
Приклад
Визначте довжину окружності радіуса 5 см.
Радіус кола дорівнює 5 см, тому, щоб визначити довжину кола, ми повинні підставити це значення у формулу.
C = 2πr
С = 2 (3,14) (5)
С = 6,24 · 5
С = 31,2 см
Дивіться також: Побудова вписаних многокутників
площа окружності
Розглянемо коло радіусом r. Щоб розрахувати вашу площу, ми повинні помножте квадрат значення радіуса на π.
Коли ми обчислюємо площу кола, ми визначаємо поверхневу міру, тобто всю область всередині кола.
- Приклад
Визначте площу кола, радіус якого дорівнює 4 см.
Ми маємо, що радіус окружності дорівнює 4 см, тому ми можемо підставити цю міру у формулу площі. Подивіться:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
А = 3,14 · 16
В = 50,24 см2
Рівняння зменшеної окружності
Ми знаємо, що коло можна побудувати збір балів, що мають однакову відстань від фіксованої точки, яка називається початком або центром. Отже, розглянемо фіксовану точку в Декартовий літак O (a, b). Набір точок - представлених P (x, y) -, що знаходяться на однаковій відстані r від цієї нерухомої точки, буде утворювати коло радіуса r.
Зверніть увагу, що точки виду P (x, y) знаходяться на однаковій відстані від точки O (a, b), тобто відстань між точками O і P дорівнює радіусу кола, таким чином:
В приведене рівняння, зверніть увагу, що цифри і B є координатами центру кола і того р - міра радіуса.
- Приклад
Визначте координати центру та міру радіуса кола, що має рівняння:
а) (х - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Порівнюючи це рівняння із приведеним рівнянням, маємо:
(х - )2 + (у - B)2 = р2
(х - 2)2 + (у -6)2 = 36
Дивіться, що a = 2, b = 6 і r2 = 36. Єдиним рівнянням, яке потрібно вирішити, є:
р2 = 36
r = 6
Отже, координата центру дорівнює: O (2, 6), а довжина радіуса - 6.
б) (х - 5)2 + (у + 3)2 = 121
Аналогічним чином ми маємо:
(х - )2 + (у - B)2 = р2
(х - 5)2 + (у + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Тоді як значення радіуса визначається як:
р2 = 121
r = 11
в) х2 + y2 = 1
(х - )2 + (у - B)2 = р2
х2 + y2 = 1
Зверніть увагу, що x2 = (x + 0)2 та y2 = (y + 0)2 . Отже, ми маємо:
(х - )2 + (у - B)2 = р2
(x + 0)2 + (у + 0)2 = 1
Отже, координата центру дорівнює O (0, 0), а радіус дорівнює 1.
Також доступ: Як знайти центр кола?
загальне рівняння кола
Щоб визначити загальне рівняння кола, ми повинні розробити приведене рівняння її. Отже, розглянемо коло, яке має центр в координатах O (a, b) і радіусі r.
Спочатку ми розробимо терміни в квадраті, використовуючи помітні товари; тоді ми передамо всі числа першому члену; і, нарешті, ми об’єднаємо терміни з однаковим буквальним коефіцієнтом, тобто ті, що мають однакові літери. Подивіться:
Приклад
Визначте координати центру та середній радіус кола, що має рівняння:
а) х2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
Щоб визначити радіус і координати кола, що має це рівняння, ми повинні порівняти його із загальним рівнянням. Подивіться:
х2 + y2 – 2-йх - 2бy + 2 + B2 –р2 = 0
х2 + y2 – 4х - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
З порівнянь зеленого кольору ми маємо:
2-й = 4
a = 2
або
2 = 4
a = 2
З порівнянь червоного кольору видно, що:
2b = 6
b = 3
або
B2 = 9
b = 3
Таким чином, можна сказати, що центр має координату O (2, 3). Тепер, порівнюючи значення r, маємо:
р2 = 49
r = 7
Отже, радіус кола має довжину, рівну 7.
б) х2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
Подібним чином порівняємо рівняння:
х2 + y2 – 2-йх - 2бy + 2 + b2 - р2 = 0
х2 + y2 –10х + 14y + 10 = 0
2-й = 10
a = 5
Визначення значення b:
–2b = 14
b = - 7
Зверніть увагу, що:
2 + b2 - р2 = 10
Оскільки ми знаємо значення a та b, ми можемо підставити їх у формулу. Подивіться:
2 + b2 - р2 = 10
52 + (–7)2 - р2 = 10
25 + 49 - р2 = 10
74 - р2 = 10
- р2 = 10 – 74
(–1) - р2 = –64 (–1)
р2 = 64
r = 8
Отже, координати центру дорівнюють O (5, –7), а радіус має довжину, рівну 8.
Різниця між окружністю та колом
Різниця між колом і колом стосується кількість розмірів кожного елемента. Хоча коло має один вимір, коло має два.
Коло - це область на площині, утворена точками, рівновіддаленими від фіксованої точки, яка називається початком координат. Коло складається з кожного регіону в колі. Побачте різницю в зображеннях:
Дивіться також:довжина кола і площа кола
розв’язані вправи
питання 1 - Периметр окружності дорівнює 628 см. Визначте діаметр цього кола (прийміть π = 3,14).
Дозвіл
Оскільки периметр дорівнює 628 см, ми можемо підставити це значення у вираз довжини окружності.
питання 2 - Два кола є концентричними, якщо вони мають однаковий центр. Знаючи це, визначте площу порожньої фігури.
Дозвіл
Зверніть увагу, що для визначення площі області білим кольором ми повинні визначити площу більшого кола, а потім площу меншого кола синім кольором. Також зверніть увагу, що якщо ми видалимо синій круг, залишиться лише потрібна область, тому ми повинні відняти ці області. Подивіться:
THEВІЛЬШИЙ = r2
THEВІЛЬШИЙ = (3,14) · (9)2
THEВІЛЬШИЙ = (3,14) · 81
THEВІЛЬШИЙ = 254,34 см2
Тепер обчислимо площу синього кола:
THEМЕНШЕ = r2
THEМЕНШЕ = (3,14) · (5)2
THEМЕНШЕ = (3,14) · 25
THEМЕНШЕ = 78,5 см2
Таким чином, порожня площа задається різницею між більшою площею і меншою площею.
THEБІЛИЙ = 254,34 – 78,5
THEБІЛИЙ = 175,84 см2
Робсон Луїс
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm