Багатогранники (від лат полі - багато - і гедрон - обличчя) є цифритривимірна утворений об'єднанням правильних многокутників, у яких багатогранні кути всі конгруентні. Об'єднання цих багатокутників утворює елементи, що складають багатогранник, це: вершини, краї і обличчя. Однак не кожна тривимірна фігура є багатогранником, прикладом цього є фігури, які мають вигнуті грані круглі тіла.
Існує математична формула, яка пов'язує елементи багатогранника, що називається Стосунки Ейлера. Крім того, багатогранники поділяються на дві групи: так звані багатогранники опуклі та не опуклі. Деякі багатогранники заслуговують на особливу увагу, їх називають Багатогранники Платона: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр і ікосаедр.
Читайте також: Відмінності між плоскими та просторовими фігурами
опуклі багатогранники
Багатогранник буде опуклим, коли його утворює багатокутники опуклий, таким чином, щоб були прийняті наступні умови:
- два з багатокутників Ніколи вони є компланарними, тобто не належать до однієї площини.
- Кожна сторона одного з цих багатокутників належить лише двом многокутникам.
- Площина, яка містить будь-який із цих багатокутників, залишає інші багатокутники в тому ж напівпросторі.
Читайте також:Сума внутрішнього та зовнішнього кутів опуклого многокутника
Елементи опуклого багатогранника
Розглянемо цей опуклий багатогранник:
ти чотирикутники на малюнку називаються обличчя багатогранника.
ти п'ятикутники - це грані та основа багатогранника, який названий п’ятикутна основа багатогранника.
Викликаються сегменти, що утворюють кожну з граней краї багатогранника.
Викликаються точки з'єднання ребер вершини.
Буде викликатися відрізок JC діагональ багатогранника, що позначається:
JC - одна з діагоналей, ми розуміємо діагональ багатогранника як буття відрізок, який поєднує дві вершини, що не належать одній грані.
У нас також є багатогранний кут, утворений між ребрами, позначений:
Багатогранний кут називається a тригранний Коли три краї походять від вершини. Так само це називається тетраедричний, справа чотири краї походять від вершини тощо.
Відтепер ми встановимо деякі позначення, це:
Дізнайтеся більше: Планування геометричних твердих тіл
Властивості опуклого багатогранника
Властивість 1
Сума ребер усіх граней дорівнює подвоєній кількості ребер багатогранника.
Приклад
Багатогранник має 6 квадратних граней. Визначимо кількість ребер.
Відповідно до властивості просто помножте кількість ребер грані на кількість граней, і це дорівнює подвоєній кількості ребер. Отже:
Властивість 2
Сума вершин усіх граней дорівнює сумі ребер усіх граней, що дорівнює подвоєній кількості ребер.
Приклад
Багатогранник з 5 тетраедричними кутами та 4 шестигранними кутами. Визначимо кількість ребер.
Аналогічно попередньому прикладу, друга властивість говорить, що сума ребер усіх граней дорівнює подвоєній кількості ребер. Кількість ребер дається добутком 5 на 4 та 4 на 6, оскільки це 5 тетраедричних та 4 шестигранних кутів. Отже:
Увігнуті (не опуклі) багатогранники
Багатогранник не є опуклим або увігнутим, коли ми беремо дві точки на різних гранях і прямій р що містить ці точки, не все міститься в багатограннику.
Зверніть увагу, що пряма лінія (синім кольором) не є повною в багатограннику, тому багатогранник (рожевим) є увігнутим або неопуклим.
правильні багатогранники
Ми говоримо, що багатогранник регулярний при ваші обличчя - правильні багатокутники рівні між собою і з багатогранними кутами однакові.
Див. Кілька прикладів:
Зверніть увагу, що всі ваші обличчя - це правильні багатокутники. Його грані утворені квадратами, а ребра всі збіжні, тобто вони мають однакову міру.
читатитакож: Що таке правильні та опуклі багатокутники?
Стосунки Ейлера
Також відомий як Теорема Ейлера, результат був доведений Леонардом Ейлером (1707 - 1783) і гарантує, що в весь замкнутий опуклий багатогранник діють такі відносини:
Багатогранники Платона
Будь-який багатогранник, який задовольняє наступним умовам, називається багатогранником Платона:
Співвідношення Ейлера є дійсним
Усі грані мають однакову кількість ребер
Усі багатогранні кути мають однакову кількість ребер
Доведено, що існує лише п'ять правильних і опуклих многогранників, або багатогранників Платона, це:
правильний тетраедр
тетраедр має 4 трикутні грані конгруентні і 4 тригранні кути конгруентний.
правильний гексаедр
гексаедр має 6 квадратних граней конгруентні і 8 тригранних кутів конгруентний.
правильний октаедр
октаедр має 8 трикутних граней конгруентні і 6 тетраедричних кутів конгруентний.
правильний додекаедр
Додекаедр має 12 п’ятикутних граней конгруентні і 20 кутівтригранний конгруентний.
правильний ікосаедр
Ікосаедр має 20 трикутних граней конгруентні і 12 п’ятигранних кутів конгруентний.
розв’язані вправи
1) (Енем) Коштовність була вирізана у вигляді 32-грані опуклого багатогранника, 20 з яких - гексаедри, а решта - п’ятикутні. Ця коштовність буде подарунком дамі, яка святкує свій день народження, досягнувши віку, число якого є числом вершин цього багатогранника. Ця леді завершує:
а) 90 років
б) 72 роки
в) 60 років
г) 56 років
д) 52 роки
Рішення:
Дає властивість 1 опуклих многогранників ми знаємо, що:
А тепер як ми знаємо кількість ребер це кількість граней, ми можемо використовувати відношення Ейлера.
Оскільки вік, який ви досягаєте, дорівнює кількості вершин, то це 60 років. Альтернатива c.
2) (PUC-SP) Скільки ребер опуклий многогранник із трикутними гранями, де кількість вершин становить три п’ятих кількості граней?
а) 60
б) 30
в) 25
г) 20
д) 15
Рішення:
З властивостей опуклого багатогранника та твердження про вправу маємо:
Підставляючи ці значення у відношення Ейлера, маємо наступне:
Організовуючи попереднє рівняння та вирішуючи рівняння у F, випливає, що:
Підставивши значення числа граней, знайдених у рівняння ребер, будемо мати:
Альтернатива b
Робсон Луїс
Вчитель математики
