Багатогранники (від лат полі - багато - і гедрон - обличчя) є цифритривимірна утворений об'єднанням правильних многокутників, у яких багатогранні кути всі конгруентні. Об'єднання цих багатокутників утворює елементи, що складають багатогранник, це: вершини, краї і обличчя. Однак не кожна тривимірна фігура є багатогранником, прикладом цього є фігури, які мають вигнуті грані круглі тіла.
Існує математична формула, яка пов'язує елементи багатогранника, що називається Стосунки Ейлера. Крім того, багатогранники поділяються на дві групи: так звані багатогранники опуклі та не опуклі. Деякі багатогранники заслуговують на особливу увагу, їх називають Багатогранники Платона: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр і ікосаедр.
Читайте також: Відмінності між плоскими та просторовими фігурами
опуклі багатогранники
Багатогранник буде опуклим, коли його утворює багатокутники опуклий, таким чином, щоб були прийняті наступні умови:
- два з багатокутників Ніколи вони є компланарними, тобто не належать до однієї площини.
- Кожна сторона одного з цих багатокутників належить лише двом многокутникам.
- Площина, яка містить будь-який із цих багатокутників, залишає інші багатокутники в тому ж напівпросторі.
![](/f/035737fa2688e3237ad8638f2f76309d.jpg)
Читайте також:Сума внутрішнього та зовнішнього кутів опуклого многокутника
Елементи опуклого багатогранника
Розглянемо цей опуклий багатогранник:
![](/f/ed1c0f8b2ce39f98d326f466c1c2322f.jpg)
ти чотирикутники на малюнку називаються обличчя багатогранника.
![](/f/43ee9cdb4f688fbd47c02554bdb4c2fb.jpg)
ти п'ятикутники - це грані та основа багатогранника, який названий п’ятикутна основа багатогранника.
![](/f/7ccf0993fcc868a7396a67640ddefbf3.jpg)
Викликаються сегменти, що утворюють кожну з граней краї багатогранника.
![](/f/77b5f41b1a7c5ca76e8f6820ebd46a25.jpg)
Викликаються точки з'єднання ребер вершини.
![](/f/e17970a83183b28f2db8e814aa1a15e9.jpg)
Буде викликатися відрізок JC діагональ багатогранника, що позначається:
![](/f/f58f728fc16e35bff1ab436d91a36a68.jpg)
JC - одна з діагоналей, ми розуміємо діагональ багатогранника як буття відрізок, який поєднує дві вершини, що не належать одній грані.
У нас також є багатогранний кут, утворений між ребрами, позначений:
![](/f/abafe523b9ffdbf7bc7b5488103298d4.jpg)
Багатогранний кут називається a тригранний Коли три краї походять від вершини. Так само це називається тетраедричний, справа чотири краї походять від вершини тощо.
Відтепер ми встановимо деякі позначення, це:
![](/f/c4269f87cf51c747c475fbdb0645bd20.jpg)
Дізнайтеся більше: Планування геометричних твердих тіл
Властивості опуклого багатогранника
Властивість 1
Сума ребер усіх граней дорівнює подвоєній кількості ребер багатогранника.
Приклад
Багатогранник має 6 квадратних граней. Визначимо кількість ребер.
Відповідно до властивості просто помножте кількість ребер грані на кількість граней, і це дорівнює подвоєній кількості ребер. Отже:
![](/f/c12813d24d047c0fe2708fb292f624d9.jpg)
Властивість 2
Сума вершин усіх граней дорівнює сумі ребер усіх граней, що дорівнює подвоєній кількості ребер.
Приклад
Багатогранник з 5 тетраедричними кутами та 4 шестигранними кутами. Визначимо кількість ребер.
Аналогічно попередньому прикладу, друга властивість говорить, що сума ребер усіх граней дорівнює подвоєній кількості ребер. Кількість ребер дається добутком 5 на 4 та 4 на 6, оскільки це 5 тетраедричних та 4 шестигранних кутів. Отже:
![](/f/029baab6b3692df0ef5a86e0788312e6.jpg)
Увігнуті (не опуклі) багатогранники
Багатогранник не є опуклим або увігнутим, коли ми беремо дві точки на різних гранях і прямій р що містить ці точки, не все міститься в багатограннику.
![](/f/79a62fe253f1d1cf81f69c70d0c09aa8.jpg)
Зверніть увагу, що пряма лінія (синім кольором) не є повною в багатограннику, тому багатогранник (рожевим) є увігнутим або неопуклим.
правильні багатогранники
Ми говоримо, що багатогранник регулярний при ваші обличчя - правильні багатокутники рівні між собою і з багатогранними кутами однакові.
Див. Кілька прикладів:
![](/f/6b14f4c0679a98754850045a678dd4c8.png)
Зверніть увагу, що всі ваші обличчя - це правильні багатокутники. Його грані утворені квадратами, а ребра всі збіжні, тобто вони мають однакову міру.
читатитакож: Що таке правильні та опуклі багатокутники?
Стосунки Ейлера
Також відомий як Теорема Ейлера, результат був доведений Леонардом Ейлером (1707 - 1783) і гарантує, що в весь замкнутий опуклий багатогранник діють такі відносини:
![](/f/0b034a2a76feaf55f4876836b4339fc6.jpg)
Багатогранники Платона
![](/f/ca10d9ff366f8f4137e635d03738c3f2.jpg)
Будь-який багатогранник, який задовольняє наступним умовам, називається багатогранником Платона:
Співвідношення Ейлера є дійсним
Усі грані мають однакову кількість ребер
Усі багатогранні кути мають однакову кількість ребер
Доведено, що існує лише п'ять правильних і опуклих многогранників, або багатогранників Платона, це:
правильний тетраедр
![](/f/c0fc0e7a49ff06f5d915836a8cb6ae6e.jpg)
тетраедр має 4 трикутні грані конгруентні і 4 тригранні кути конгруентний.
правильний гексаедр
![](/f/17e40d90f24a2b238ddea88b903747d9.jpg)
гексаедр має 6 квадратних граней конгруентні і 8 тригранних кутів конгруентний.
правильний октаедр
![](/f/b0b6eaea868ffcf19b20f6497a629638.jpg)
октаедр має 8 трикутних граней конгруентні і 6 тетраедричних кутів конгруентний.
правильний додекаедр
![](/f/3e150ac05dddbfbf8469836da110e5ce.jpg)
Додекаедр має 12 п’ятикутних граней конгруентні і 20 кутівтригранний конгруентний.
правильний ікосаедр
![](/f/57f03300462d8fa8654fffcac6dc9602.jpg)
Ікосаедр має 20 трикутних граней конгруентні і 12 п’ятигранних кутів конгруентний.
розв’язані вправи
1) (Енем) Коштовність була вирізана у вигляді 32-грані опуклого багатогранника, 20 з яких - гексаедри, а решта - п’ятикутні. Ця коштовність буде подарунком дамі, яка святкує свій день народження, досягнувши віку, число якого є числом вершин цього багатогранника. Ця леді завершує:
а) 90 років
б) 72 роки
в) 60 років
г) 56 років
д) 52 роки
Рішення:
Дає властивість 1 опуклих многогранників ми знаємо, що:
![](/f/769f7c0a5ab3c568a38bf8f4a47103a3.jpg)
А тепер як ми знаємо кількість ребер це кількість граней, ми можемо використовувати відношення Ейлера.
![](/f/5a17c15b9be804c6a98ba798e4593a18.jpg)
Оскільки вік, який ви досягаєте, дорівнює кількості вершин, то це 60 років. Альтернатива c.
2) (PUC-SP) Скільки ребер опуклий многогранник із трикутними гранями, де кількість вершин становить три п’ятих кількості граней?
а) 60
б) 30
в) 25
г) 20
д) 15
Рішення:
З властивостей опуклого багатогранника та твердження про вправу маємо:
![](/f/50cc8529ac0721e56affaed27380c300.jpg)
Підставляючи ці значення у відношення Ейлера, маємо наступне:
![](/f/bc4558c7324e263c2cbda7abdff71b3f.jpg)
Організовуючи попереднє рівняння та вирішуючи рівняння у F, випливає, що:
![](/f/e28fa7db06a41a86d480ad858f9208a5.jpg)
Підставивши значення числа граней, знайдених у рівняння ребер, будемо мати:
![](/f/0303bfd942f9bb2e55128a51e0dc0026.jpg)
Альтернатива b
Робсон Луїс
Вчитель математики