тригонометричне коло - коло радіуса 1, представлене в Декартовий літак. У ній горизонтальна вісь є віссю косинуса, а вертикальна вісь - віссю синуса. Це також можна назвати тригонометричним циклом.
Застосовується для дослідження тригонометричних співвідношень. За допомогою нього можна краще зрозуміти основні тригонометричні причини кути більше 180º, а саме: синус, косинус і тангенс.
Читайте також: 4 найпоширеніші помилки в базовій тригонометрії
Крок за кроком будуємо тригонометричне коло
Щоб побудувати тригонометричне коло, ми використовуємо дві осі, одна вертикальна і одна горизонтальна, як декартова площина. Горизонтальна вісь відома як вісь косинуса, а вертикальна вісь відома як вісь синуса.
Побудувавши осі, намалюємо графік кола, що має радіус 1.
Тригонометричні співвідношення в колі
Ми використовуємо коло, щоб знайти значення синус, косинус і тангенс, відповідно до значення кута. маючи в
вертикальна вісь - значення синуса, а на горизонтальній - значення косинуса, визначивши кут на тригонометричному колі, можна знайти значення синуса та косинуса, проаналізувавши координати точки, де відрізок з'єднує центр кола та окружність, представлені P на зображенні a слідувати. Якщо ми намалюємо дотичну лінію до кола в точці (1.0), ми також можемо обчислити тангенс цього кута аналітично відповідно до зображення:
Читайте також: Що таке секант, косекант і котангенс?
Тригонометричне коло радіан
Ми знаємо, що дугу можна виміряти за допомогою двох різних одиниць виміру: міри в градусах та міри в радіани. Ми це знаємо окружність 360 ° і що довжина вашої дуги дорівнює 2π:
Квадранти тригонометричного кола
Будь то в радіанах чи градусах, можна визначити квадрант, в якому знаходиться дана дуга, відповідно до її вимірювання.
Аналізуючи цикл, ми маємо:
перший квадрант: кути від 0 до 90 ° або від 0 до π / 2 радіанів;
другий квадрант: кути, що знаходяться між 90 ° і 180 ° або π / 2 і π радіанами;
третій квадрант: кути, що знаходяться між 180º і 270º або π і 3 π / 2 радіана;
четвертий квадрант: кути між 270 ° і 360 ° або 3π / 2 і 2π радіанами.
Читайте також: План характеристик та властивостей
Чудові кути в тригонометричному колі
На початку вивчення тригонометрія, ми дізналися, що помітними кутами є кути 30º, 45º та 60º, які мають значення відомих синуса, косинуса та тангенса. Однак через симетрію тригонометричного циклу можна знайти значення синуса та косинуса для цих кутів та симетричних кутів йому в кожному з квадрантів.
Тригонометричні кола знаки
Щоб зрозуміти, що є знаком кожного з тригонометричних співвідношень у циклі, досить проаналізувати значення осі в декартовій площині.
Почнемо з косинуса. Оскільки це горизонтальна вісь, косинус кутів, включений праворуч від вертикальної осі, додатний, а косинус кутів, включений ліворуч від вертикальної осі, від’ємний.
Тепер, щоб зрозуміти знак синуса кута, просто пам’ятайте, що вертикальна вісь є віссю синуса, тому синус кута, який знаходиться над горизонтальною віссю, додатний; але якщо кут нижче горизонтальної осі, синус цього кута від’ємний, як показано на наступному зображенні:
Ми це знаємо тангенс - це відношення між синусом і косинусом, тоді, щоб знайти знак дотичної для кожного з квадрантів, ми граємо в гру знаків, яка робить дотичну позитивною в непарних квадрантах і негативною в парних квадрантах:
Читайте також: Що таке напівпрямі, напівплощини та напівпростори?
симетрія в колі
Аналізуючи тригонометричний цикл, можна побудувати спосіб зменшення синуса, косинуса та дотичної до першого квадранту. Це зменшення означає знаходження в першому квадранті кута, симетричного куту інших квадрантів, тому що, коли ми працюємо з симетричним кутом, значення тригонометричних співвідношень однакове, змінюючи лише його сигналу.
Зменшення кута, який знаходиться у 2-му квадранті до 1-го квадранта
Починаючи з кутів, які знаходяться у 2-му квадранті, ми маємо:
Як ми знаємо, в 1-му і 2-му квадрантах синус позитивний. Отже, для розрахунку зменшення синуса з 2-го квадранта до 1-го квадранту використовуємо формулу:
sin x = sin (180º - x)
Косинус і тангенс у 2-му квадранті від’ємні. Для зменшення косинуса з 2-го квадранта в 1-й квадрант використовуємо формулу:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Приклад:
Яке значення синуса і косинуса кута 120 °?
Кут 120 ° - це другий кут квадранта, оскільки він знаходиться між 90 ° і 180 °. Щоб зменшити цей кут до 1-го квадранту, ми обчислюємо:
гріх 120 ° = гріх (180 ° - 120 °)
гріх 120º = гріх 60º
Кут 60 ° є чудовим кутом, тому його синусоїдальність відома, тому:
Тепер обчислимо ваш косинус:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Оскільки ми знаємо косинус 60º, ми повинні:
Зменшення кута, який знаходиться у 3-му квадранті, у 1-му квадранті
Як і у 2-му квадранті, існує симетрія між кутами в 3-му квадранті та кутами в 1-му квадранті.
Синус і косинус у третьому квадранті від’ємні. Отже, щоб зменшити синус і косинус з 3-го квадранта в 1-й квадрант, використовуємо формулу:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Дотична в 3-му квадранті додатна. Для його зменшення використовуємо формулу:
tg x = tg (x - 180º)
Приклад:
Обчисліть синус, косинус і тангенс 225º.
гріх 225º = - гріх (225º - 180º)
гріх 225º = - гріх 45º
Оскільки 45º - це чудовий кут, при консультації за столом ми повинні:
Тепер, обчислюючи косинус, ми маємо:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Ми знаємо, що tg45º = 1, тому:
tg 225º = 1
Зменшення кута, який знаходиться в 4-му квадранті в 1-му квадранті
З тими ж міркуваннями, що і попередні скорочення, існує симетрія між 4-м і 1-м квадрантом:
Значення синуса та тангенса у 4-му квадранті від’ємні. Отже, щоб зробити скорочення з 4-го в 1-й квадрант, використовуємо формулу:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Косинус у 4-му квадранті додатний. Отже, щоб звести до 1-го квадранту, формула:
cos x = cos (360º - x)
Приклад:
Обчисліть значення синуса та косинуса 330º.
Починаючи з синуса:
Тепер обчислюємо косинус:
Читайте також: Як обчислити відстань між двома точками у просторі?
Вправи, розв’язані тригонометричним колом
питання 1 - Під час вивчення кругового моменту фізик проаналізував об’єкт, який обертався навколо себе, утворюючи кут 15 240 °. Аналізуючи цей кут, утворена ним дуга знаходиться в:
А) квадрант І.
Б) квадрант II.
В) квадрант III.
Г) квадрант IV.
Д) поверх однієї з осей.
Дозвіл
Альтернатива Б.
Ми знаємо, що кожні 360 ° цей об’єкт завершив коло навколо себе. При виконанні поділ з 15 240 на 360, ми знайдемо, скільки повних обертів цей об'єкт зробив навколо себе, але наш головний інтерес полягає в решті, яка представляє кут, під яким він зупинився.
15.240: 360 = 42,333…
Результат показує, що він зробив 42 обороти навколо себе, але 360 · 42 = 15,120, тому він залишив кут:
15.240 – 15.120 = 120º
Ми знаємо, що 120 ° - це другий кут квадранта.
Питання 2 - Будь ласка, судіть наступні твердження:
I → При обчисленні tg 140º значення буде негативним.
II → Кут 200 ° - це кут 2-го квадранта.
III → Сен 130º = гріх 50º.
Позначте правильну альтернативу:
А) Тільки я хибний.
Б) Тільки ІІ неправдивий.
В) Тільки III є хибним.
Г) Всі правда.
Дозвіл
Альтернатива Б.
I → Правда, оскільки кут 140º належить 2-му квадранту, в якому тангенс завжди від’ємний.
II → False, оскільки кут 200 ° є кутом 3-го квадранта.
III → Правда, оскільки для зменшення кута від 2-го до 1-го квадранта просто обчисліть різницю 180 ° - x, тоді:
гріх 130 ° = гріх (180 ° - 130 °)
гріх 130-й = гріх 50-й
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
