Рівняння типу cos x = a

Тригонометричні рівняння - це рівності, що включають тригонометричні функції невідомих дуг. Розв’язування цих рівнянь - це унікальний процес, який використовує методи зведення до простіших рівнянь. Висвітлимо поняття та визначення рівнянь у формі cosx = a.
Тригонометричні рівняння у вигляді cosx = α мають рішення в інтервалі –1 ≤ x ≤ 1. Визначення значень x, які задовольняють цей тип рівняння, підпорядковується наступній властивості: Якщо дві дуги мають рівні косинуси, то вони є конгруентними або доповнюючими..
Нехай x = α - розв’язок рівняння cos x = α. Інші можливі рішення - дуги, конгруентні дузі α або дузі - α (або дузі 2π - α). Отже: cos x = cos α. Зверніть увагу на представлення в тригонометричному циклі:

Ми дійшли висновку, що:
x = α + 2kπ, з k Є Z або x = - α + 2kπ, з k Є Z
Приклад 1
Розв’яжіть рівняння: cos x = √2 / 2.
З таблиці тригонометричних співвідношень que2 / 2 відповідає куту 45 °. Тоді:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Таким чином, рівняння cosx = √2 / 2 має як рішення всі дуги, конгруентні дузі π / 4 або –π / 4 або навіть 2π - π / 4 = 7π / 4. Зверніть увагу на ілюстрацію:

Ми робимо висновок, що можливими рішеннями рівняння cos x = √2 / 2 є:
x = π / 4 + 2kπ, з k Є Z або x = - π / 4 + 2kπ, з k Є Z
Приклад 2
Розв’яжіть рівняння: cos 3x = cos x
Коли дуги 3x та x збіжні:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Коли дуги 3x та x доповнюють один одного:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Рішення рівняння cos 3x = cos x є {x Є R / x = kπ або x = kπ / 2, з k Є Z}.

Марк Ной
Закінчив математику

Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm

Сумуєте за Walkman? Sony анонсувала пристрій навіть із Spotify!

Минулого тижня Sony оголосила, що випустить новий Walkman для людей, яким не вистачає пристрою пі...

read more

Чи знаєте ви, що поза, в якій ви спите, багато говорить про ваше здоров'я?

Існують різні способи лягати спати, одні вважають за краще спати на боці, інші – на животі, інші ...

read more
Хороший сюрприз: «вимерлого» метелика знову бачать у Великобританії

Хороший сюрприз: «вимерлого» метелика знову бачать у Великобританії

На південному сході Лондона таємниче явище привело в захват любителів метеликів. Наявність надзви...

read more