Тригонометричні рівняння - це рівності, що включають тригонометричні функції невідомих дуг. Розв’язування цих рівнянь - це унікальний процес, який використовує методи зведення до простіших рівнянь. Висвітлимо поняття та визначення рівнянь у формі cosx = a.
Тригонометричні рівняння у вигляді cosx = α мають рішення в інтервалі –1 ≤ x ≤ 1. Визначення значень x, які задовольняють цей тип рівняння, підпорядковується наступній властивості: Якщо дві дуги мають рівні косинуси, то вони є конгруентними або доповнюючими..
Нехай x = α - розв’язок рівняння cos x = α. Інші можливі рішення - дуги, конгруентні дузі α або дузі - α (або дузі 2π - α). Отже: cos x = cos α. Зверніть увагу на представлення в тригонометричному циклі:
Ми дійшли висновку, що:
x = α + 2kπ, з k Є Z або x = - α + 2kπ, з k Є Z
Приклад 1
Розв’яжіть рівняння: cos x = √2 / 2.
З таблиці тригонометричних співвідношень que2 / 2 відповідає куту 45 °. Тоді:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Таким чином, рівняння cosx = √2 / 2 має як рішення всі дуги, конгруентні дузі π / 4 або –π / 4 або навіть 2π - π / 4 = 7π / 4. Зверніть увагу на ілюстрацію:
Ми робимо висновок, що можливими рішеннями рівняння cos x = √2 / 2 є:
x = π / 4 + 2kπ, з k Є Z або x = - π / 4 + 2kπ, з k Є Z
Приклад 2
Розв’яжіть рівняння: cos 3x = cos x
Коли дуги 3x та x збіжні:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Коли дуги 3x та x доповнюють один одного:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Рішення рівняння cos 3x = cos x є {x Є R / x = kπ або x = kπ / 2, з k Є Z}.
Марк Ной
Закінчив математику
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm