Формули перетворення суми до продукту або формули простаферезу (перетворення) походять від дуже корисний при розкладанні таких виразів, як sin x + sin y, cos x - cos y, sin x + cos x та інші. Для отримання перетворень продукту ми будемо використовувати деякі вже відомі формули.
1. Формула перетворення синусів
Почнемо з формул синуса суми та різниці двох дуг, щоб знайти вираз для sin x + sin y та для sin x - sin y.
![](/f/8322245730d3ae39b2767383d16c4a7e.jpg)
Додаючи два вирази член за членом, отримуємо:
![](/f/7a13d9a27b0abc84de64bea804283f35.jpg)
Віднімаючи два вирази член за членом, отримуємо:
![](/f/5a76cdbb36cd6c25df8480bc6ba97177.jpg)
Зробивши x = a + b та y = a - b, ми матимемо:
![](/f/3863699ca9a43861ffbdeb05e8ba63b3.jpg)
Дотримуйтесь цього:
![](/f/3975574252b7245fed38dff44d0ae24e.jpg)
і
![](/f/1decc2defbd5510c368edd595b3a4312.jpg)
2. Формула перетворення косинусів
Знайдемо вираз для cos x + cos y, а для cos x - cos y.
Ми мусимо:
![](/f/fad777d7a3b705f137e953cf42d80a68.jpg)
Додаючи дві рівності, член до члена, отримуємо:
![](/f/cc628103e64a657a5f9db67fa061b3bf.jpg)
Віднімаючи дві рівності, член за членом, отримуємо:
![](/f/47b5712b1a3fee7b61d91f02a9dd7e1a.jpg)
Зробивши x = a + b та y = a - b, отримаємо:
![](/f/cb5eff11dcf509f7c74019f643544ada.jpg)
![](/f/9892c4150a3c298922ed3307592e4623.jpg)
І,
![](/f/04df567398c21e531fa47945fc5d41d0.jpg)
Приклад 1. Зробіть вираз S = sin 37 у продуктО + гріх 23О.
Рішення: маємо a = 37О і b = 23О. Незабаром,
Таким чином,
![](/f/671dd0be2bd784afcf64102d18c0e68b.jpg)
Приклад 2. Фактор вираження D = cos 5c - cos 3c.
Розв’язання: Маємо a = 5c і b = 3c. Незабаром,
![](/f/b19edc40c2cbca4cc65636fcb2fb563b.jpg)
Таким чином,
![](/f/7416db077379a93453d33ff76af94259.jpg)
Марсело Рігонатто
Фахівець зі статистики та математичного моделювання
Шкільна команда Бразилії
Тригонометрія - Математика - Бразильська школа
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formulas-transformacao-soma-produto.htm