Експоненціальна функція: типи, графік, вправи

THE експоненціальна функція відбувається, коли у своєму законі формування змінна знаходиться в показнику ступеня, а домен і зустрічний домен у дійсних чисел. Областю експоненціальної функції є дійсні числа, а лічильником - ненульові додатні дійсні числа. Ваш закон про навчання може бути описаний f (x) =^х, про те, що - додатне дійсне число, відмінне від 1.

О графічний експоненціальної функції завжди буде в першому і другому квадрантах декартової площини і може зростати, коли - число, яке перевищує 1, або зменшується, коли - додатне число менше 1. THE обернена функція експоненціальною функцією є логарифмічна функція, яка робить графіки цих функцій завжди симетричними.

Читайте також: Що таке функція?

Що таке експоненціальна функція?

Як випливає з назви, термін експоненціальний пов'язаний з експонентою. Отже, визначенням експоненціальної функції є a функція чия домен - множина дійсних чисел, а контрдомен - множина ненульових додатних дійсних чисел., описаний : ℝ → ℝ *

instagram story viewer

₊. Закон його формування описується рівнянням f (x) = ^х, про те, що це будь-яке дійсне число, додатне, не нульове та з базовим ім'ям.

Приклади:

У законі пласта f (x) також можна описати як y, і, як і в інших функціях, це так відомий як залежна змінна, оскільки її значення залежить від x, який відомий як змінна. незалежний.

Експоненціальні типи функцій

Експоненційні функції можна класифікувати на два різні випадки. Беручи до уваги поведінку функції, це може бути висхідний або низхідний.

Експоненціальна функція називається зростаючою, якщо зі збільшенням значення x значення f (x) також зростає. Це відбувається, коли база більша за 1, тобто: > 1.

Приклад:

Графік зростаючої експоненціальної функції

Експоненціальна функція вважається зменшуваною, якщо зі збільшенням значення x значення f (x) зменшується. Це відбувається, коли основою є число від 0 до 1, тобто 0 < < 1.

Приклад:

Читайте також: Різниця між функцією та рівнянням

Графік експоненціальної функції

Для того, щоб намалювати графічне зображення експоненціальної функції, необхідно знайти зображення для деяких значень домену. Графік експоненціальної функції має характеристику зростання набагато більший, ніж лінійні функції, якщо збільшується, або більше зменшується, коли зменшується.

Приклади:

а) Побудуйте графік функції: f (x) = 2^х.

Оскільки> 1, то ця функція зростає. Щоб побудувати графік, давайте присвоїмо деякі значення x, як показано в наступній таблиці:

Тепер, коли ми знаємо деякі точки функції, їх можна позначити в Декартовий літак та побудуйте криву експоненціальної функції.

б) Побудуйте графік такої функції:

У цьому випадку функція є спадною, оскільки основою є число від 0 до 1, тоді графік буде спадним.

Після знаходження деяких числових значень можна представити в декартовій площині графік функції:

Експоненціальні властивості функції

→ 1-а властивість

У будь-якій експоненціальній функції незалежно від її базового значення , Ми мусимоf (0) = 1. Зрештою, ми знаємо, що це a властивість потенції, тобто кожне число, підняте до 0, дорівнює 1. Це означає, що графік щоразу перетинатиме вертикальну вісь у точці (0,1).

→ 2-а властивість

Експоненціальна функція дорівнює інжектор. Дані х₁ та х₂ такі, що x₁ ≠ х₂, тому зображення також будуть різними, тобто f (x₁) ≠ f (x₂), що означає, що для кожного значення зображення в домені є одне значення, яке відповідає цьому зображенню.

Будучи ін’єкційним означає, що для значень, відмінних від y, буде єдине значення x, яке робить f (x) рівним y.

→ 3-а властивість

Можна дізнатися поведінку функції за її базовим значенням. Графік буде зростати, якщо основа більше 1 ( > 1) і зменшується, якщо основа менше 1 і менше 0 (0

→ 4 властивість

О графік експоненціальної функції завжди знаходиться в 1-му і 2-му квадрантах, оскільки контрдоменом функції є ненульові додатні дійсності.

Читайте також: Як побудувати графік функції?

Експоненціальна функція та логарифмічна функція

Оскільки експоненціальна функція є функцією, яка допускає обернене, це порівняння між експоненціальною функцією та логарифмічною функцією неминуче. виявляється, що логарифмічна функція - це обернена функція експоненти. Графіки цих функцій симетричні відносно бісектриси осі х. Бути оберненою функцією означає, що логарифмічна функція робить протилежне тому, що робить експоненціальна функція, тобто в експоненціальній функції, якщо f (x) = y, то логарифмічна функція, будучи оберненою, буде позначатися f^-1 f^-1 (y) = x.

Графік експоненціальної функції симетричний графіку логарифмічної функції.

Вправи вирішені

(Enem 2015) Профспілка робітників компанії припускає, що мінімальний рівень заробітної плати в класі становить 1800,00 доларів США, пропонуючи фіксоване збільшення відсотків за кожен рік, присвячений роботі. Вираз, який відповідає пропозиціям (ам) щодо заробітної плати, як функція стажу (t), у роках, дорівнює s (t) = 1800 · (1,03)^т.

Згідно з пропозицією профспілки, зарплата професіонала цієї компанії з 2-річним стажем роботи становитиме,

а) 7 416,00

б) 3819,24

в) 3 709,62

г) 3 708,00

д) 1909,62

Дозвіл:

Ми хочемо обчислити зображення функції, коли t = 2, тобто s (2). Підставивши t = 2 у формулу, ми виявимо, що:

s (2) = 1800 · (1,03) ²

s (2) = 1800 · 1,0609

s (2) = 1909,62

Альтернатива Е

2) (Enem 2015) Додавання технологій у систему промислового виробництва має на меті зменшити витрати та збільшити продуктивність. За перший рік роботи галузь виготовила 8000 одиниць певного товару. Наступного року він інвестував у технології, придбавши нові машини та збільшивши виробництво на 50%. За підрахунками, цей відсоткове збільшення повториться у найближчі роки, гарантуючи щорічне зростання на 50%. Нехай Р - річна кількість продукції, виробленої за рік роботи галузі.

Якщо оцінка досягнута, який вираз визначає кількість вироблених одиниць Pу функції т, для т ≥ 1?

The) P(т) = 0,5 · т ^-1 + 8 000

Б)P(т) = 50 · т ^-1+ 8000

ç)P(т) = 4000 · т^-1 + 8 000

г)P(т) = 8 000 · (0,5)^t-1

і)P(т) = 8 000 · (1,5)^t-1

Дозвіл:

Зверніть увагу, що існує зв’язок між роком т і кількість певного товару П. Знаючи, що за кожний рік відбувається збільшення на 50%, це означає, що при порівнянні виробництва за рік до і після, значення другого відповідає 150%, що представлено 1,5. Знаючи, що початкове виробництво становить 8000, і що в перший рік це було виробництво, ми можемо описати цю ситуацію наступним чином: