Вирішити системилінійна це дуже повторюване завдання для досліджень у галузі природничих наук та математики. Пошук невідомих значень призвів до розробки методів вирішення лінійних систем, таких як метод додавання, рівності та підстановки для систем, які мають два рівняння та дві невідомі, і правило Краммера та масштабування, які вирішують лінійні системи двох рівнянь, але які зручніші для систем з більшою кількістю рівнянь. Лінійна система - це сукупність двох або більше рівнянь з однією або кількома невідомими.
Читайте також:Який взаємозв'язок між матрицями та лінійними системами?
лінійне рівняння
Робота з рівняннями існує завдяки потрібно знайти невідомі невідомі значення. Ми називаємо це рівнянням, коли маємо алгебраїчний вираз з рівністю, і воно класифікується як лінійне, коли найбільшим показником його невідомих є 1, як показано в наступних прикладах:
2x + y = 7 → лінійне рівняння з двома невідомими
a + 4 = -3 → лінійне рівняння з одним невідомим
Взагалі кажучи, лінійне рівняння можна описати:
1х1 +2х2 + a3x3... + aнемаєхнемає = c
Ми знаємо як систему рівнянь, коли існує більше одного лінійного рівняння. Ми почнемо з лінійних систем двох невідомих.
Розв’язування лінійних систем
Лінійні системи з двома рівняннями 1-го ступеня та двома невідомими
Для розв’язання системи з двох рівнянь і двох невідомих існує кілька методи, три найвідоміші:
- метод порівняння
- метод додавання
- метод заміщення
Будь-який із трьох може розв’язати лінійну систему з двох рівнянь та двох невідомих. Ці методи не настільки ефективні для систем з більшою кількістю рівнянь, оскільки існують інші конкретні методи їх вирішення.
Метод заміни
Метод заміни складається з ізолювати одну з невідомих в одному з рівнянь і виконати заміщення в іншому рівнянні.
Приклад:
1-й крок: ізолювати одну з невідомих.
I ми називаємо першим рівнянням, а II - другим. Проаналізувавши ці два, давайте виберіть невідоме, яке найпростіше ізолювати. Зверніть увагу, що в рівняння I → x + 2y = 5, x не має коефіцієнта, що полегшує ізоляцію, тому ми перепишемо рівняння, яке мені подобається так:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 - 2y
2-й крок: замінити I на II.
Тепер, коли у нас є рівняння I лише з x, у рівнянні II ми можемо замінити x на 5 - 2y.
II → 3x - 5y = 4
Заміна x на 5 - 2y:
3 (5 - 2y) - 5y = 4
Тепер, коли рівняння має лише одне невідоме, його можна вирішити, щоб знайти значення y.
Знаючи значення y, ми знайдемо значення x, замінивши значення y в рівняння I.
I → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
х = 5 - 2
х = 3
Отже, рішенням системи є S = {3,1}.
Метод порівняння
Метод порівняння складається з виділіть невідоме у двох рівняннях і зрівняйте ці значення.
Приклад:
1-й крок: нехай I буде першим рівнянням, а II другим, давайте виділимо одну з невідомих в I і II. Вибираючи ізолювати невідомий х, ми маємо:
2-й крок: прирівняти два нових рівняння, оскільки x = x.
3-й крок: замінити значення y на -2 в одному з рівнянь.
х = -4 - 3р
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
х = 2
Отже, рішенням цієї системи є множина S = {2, -2}.
Дивіться також: Які відмінності між функцією та рівнянням?
метод додавання
Метод додавання полягає у виконанні множення всіх доданків одного з рівнянь таким чином, що, коли додаючи рівняння I до рівняння II, одна з його невідомих дорівнює нулю.
Приклад:
1-й крок: помножте одне з рівнянь так, щоб коефіцієнти були протилежними.
Зауважимо, що якщо помножити рівняння II на 2, ми отримаємо 4y у рівнянні II та -4y у рівнянні I, і це на ми додаємо I + II, отримуємо 0y, тож помножимо всі доданки у рівнянні II на 2 так, щоб це трапиться.
I → 5x - 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2-й крок: виконати суму I + 2 · II.
3-й крок: замінити значення x = 3 в одне з рівнянь.
Лінійні системи з трьома рівняннями 1-го ступеня та трьома невідомими
Коли в системі є три невідомих, ми застосовуємо інші методи вирішення. Всі ці методи відносять коефіцієнти до матриць, і найбільш використовуваними методами є правило Краммера або масштабування. Для роздільної здатності в обох методах необхідно матричне представлення системи, включаючи систему 2х2, можна представити за допомогою матриці. Є два можливих уявлення: повна матриця та неповна матриця:
Приклад:
Система
Може бути представлений повна матриця
І для неповна матриця
Правило Краммера
Щоб знайти рішення для системи 3x3 з невідомими x, y та z, використовуючи Правило Краммера, необхідно обчислити визначник неповної матриці та її варіації. Отже, ми маємо:
D → визначник неповної матриці системи.
Dх → визначник неповної матриці системи, замінюючи стовпець х на стовпець незалежних доданків.
Dр → визначник неповної матриці системи, замінюючи стовпець у на стовпчик незалежних доданків.
Dz → визначник неповної матриці системи, замінюючи стовпець z на стовпець незалежних доданків.
Отже, щоб знайти значення ваших невідомих, нам спочатку потрібно обчислити детермінанта D, Dх, Dр пов'язані із системою.
Приклад:
1-й крок: обчислити D.
2-й крок: обчислити Dх.
3-й крок: тоді ми можемо знайти значення x, оскільки:
4-й крок: обчислити Dр.
5-й крок: тоді ми можемо обчислити значення y:
6-й крок: Тепер, коли ми знаємо значення x і y, в будь-якому рядку ми можемо знайти значення z, підставивши значення x і y і виділивши z. Інший варіант - обчислити Dz.
Підставивши x = 0 та y = 2 у першому рівнянні:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 - z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Отже, системним рішенням є тендер (0,2, -1).
Також доступ: Розв’язування задач системами рівнянь
масштабування
Іншим методом вирішення лінійних систем є масштабування, при якому ми використовуємо лише повну матрицю та операції між рядками, щоб виділити їх невідомі. Давайте розглянемо систему нижче.
1-й крок: написати повну матрицю, що представляє систему.
бути L1, L2 та L3 відповідно рядки 1, 2 і 3 матриці, ми будемо виконувати операції між L1 та L2 та L1 та L3, так що результат робить доданки, що знаходяться в першому стовпці другого та третього рядків, рівними нулю.
Аналізуючи другий рядок матриці, давайте замінимо його результатом L2 → -2 · L1 + L2, щоб додати термін a21 до нуля.
21 = -2 · 1 + 2 = 0
22 = -2 · 2 + 1 = -3
23 = -2 · (-3) + 1 = 7
24 =-2 · 10 + 3 = -17
Отже L2 буде 0 -3 7 -17.
Аналізуючи третій рядок матриці, замінимо його результатом L3 → 3L1 + L2, для того, щоб скинути термін на31.
31 = 3 · 1 – 3 = 0
32 = 3 · 2 + 2 = 8
33 = 3 · (-3) +1 = -8
34 = 3 · 10 – 6 = 24
Отже L3 буде 0 8 -8 24.
Зверніть увагу, що всі діляться на 8, так що лінія L3 спростимо, поділимо на 8.
L3 → L3 : 8 буде: 0 1-1 3.
Тож новою матрицею масштабованого рівняння буде:
Тепер мета - скинути стовпець y у третьому рядку, ми будемо виконувати операції між L2 та L3, з метою скидання другої колонки одного з них.
Ми замінимо L3 на L3 → L2 + 3л3.
31 = 0 + 3 · 0 = 0
32 = -3 + 3 · 1 = 0
33 = 7 + 3 · (-1) = 4
34 = -17 + 3 · 3 = -8
Отже L3 буде: 0 0 4 -8.
Новою масштабованою матрицею буде:
Тепер, коли ми знову представляємо цю матрицю як систему, додаючи x, y та z до стовпців, ми знайдемо наступне:
Потім ми можемо знайти значення кожної з невідомих. Аналізуючи рівняння III, ми маємо:
Якщо z = -2, підставимо значення z у друге рівняння:
Нарешті, у першому рівнянні підставимо значення y та z, щоб знайти значення x.
Дивіться також: Система нерівностей 1 ступеня - як її вирішити?
класифікація лінійних систем
Лінійна система - це сукупність лінійних рівнянь, яка може мати кілька невідомих та кілька рівнянь. Існує кілька методів її вирішення, незалежно від кількості рівнянь. є три рейтинги для лінійної системи.
- Визначена можлива система (SPD): коли у вас є єдине рішення.
- Невизначена можлива система (SPI): коли він має нескінченні рішення.
- неможлива система(SI): коли рішення не існує.
Вправи вирішені
питання 1 (IFG 2019) Розглянемо суму вимірювань основи та висоти щодо основи трикутника, рівну 168 см, і різницю, що дорівнює 24 см. Правильно стверджувати, що виміри основи та висоти щодо цієї базової міри відповідно:
а) 72 см та 96 см
б) 144 см і 24 см
в) 96 см і 72 см
г) 24 см і 144 см
Дозвіл
Альтернатива C.
Нехай h → висота і b → основа, тоді маємо таку систему:
За способом додавання ми маємо:
Щоб знайти значення h, підставимо b = 96 см у перше рівняння:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
h = 72 см
питання 2 Неповною матрицею, що представляє наступну лінійну систему, є:
Дозвіл
Альтернатива C.
Неповна матриця - це та, яка має коефіцієнти x, y та z, тому це буде матриця 3x3. Аналізуючи альтернативи, матриця 3x3 із правильними знаками - це буква С.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
