Фундаментальна теорема алгебри для поліноміальні рівняння гарантує, що "поліном кожного градуса n≥ 1 має принаймні один складний корінь ". Доказом цієї теореми виступив математик Фрідріх Гаус в 1799 році. З цього ми можемо продемонструвати теорема про розклад поліномів, що гарантує, що будь-який поліном можна розкласти на фактори першого ступеня. Візьмемо такий поліном p (x) класу n ≥ 1 танемає ≠ 0:
p (x) = aнемає хнемає +n-1 хn-1 +… +1х1 +0
Через фундаментальну теорему алгебри ми можемо стверджувати, що цей поліном має принаймні один складний корінь. u1, такий як p (u1) = 0. О Теорема Д'Аламбера до ділення багаточленів стверджує, що якщо p (u1) = 0, тоді p (x) ділиться на (x - u1), що призводить до частки що1(х), який є градусним многочленом (n - 1), що змушує нас говорити:
p (x) = (x - u1). що1(х)
З цього рівняння необхідно виділити дві можливості:
Якщо u = 1 і що1(х) є многочленом ступеня (n - 1), тоді що1(х) має ступінь 0. Як домінуючий коефіцієнт p (x) é немає, що1(х) є постійним багаточленом типу що1(х)=немає. Отже, маємо:
p (x) = (x - u1). що1(х)
(x) = (x - u1).немає
p (x) = aнемає . (x - u1)
Але якщо u ≥ 2, то поліном що1 має ступінь n - 1 ≥ 1 і виконується фундаментальна теорема алгебри. Можна сказати, що поліном що1 має принаймні один корінь немає2, що змушує нас стверджувати це що1 можна записати як:
що1(x) = (x - u2). що2(х)
Але як p (x) = (x - u1). що1(х), ми можемо переписати його як:
p (x) = (x - u1). (x - u2). що2(х)
Послідовно повторюючи цей процес, ми матимемо:
p (x) = aнемає. (x - u1). (x - u2)… (X - uнемає)
| Таким чином, ми можемо зробити висновок, що кожен поліном або поліноміальне рівняння p (x) = 0 класу n≥ 1 власне точно немає складні корені. |
Приклад: Будьте p (x) многочлен ступеня 5, такий, що його коріння – 1, 2, 3, – 2 і 4. Запишіть цей поліном, розкладений на множники 1-го ступеня, враховуючи домінантний коефіцієнт дорівнює 1. Він повинен бути написаний у розширеній формі:
якщо – 1, 2, 3, – 2 і 4 є коренями многочлена, тому добуток різниць х для кожного з цих коренів призводить до p (x):
p (x) = aнемає. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
Якщо домінантний коефіцієнт немає = 1, ми маємо:
p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x4 - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x5 - 6x4 + x³ + 36x² - 20x - 48
Автор: Аманда Гонсалвес
Закінчив математику
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm
