Множники та дільники: що це та властивості

protection click fraud

Поняття кратні і перегородки натурального числа поширюються на множину цілі числа. Маючи справу з темою кратних і дільників, ми маємо на увазі числові множини які задовольняють деяким умовам. Кратні знаходять після множення на цілі числа, а дільники - це числа, що діляться на певне число.

Через це ми знайдемо підмножини цілих чисел, оскільки елементи множин кратних і дільники є елементами множини цілих чисел. Щоб зрозуміти, що таке прості числа, необхідно зрозуміти поняття дільників.

Поняття кратних і дільників походять від операцій.

кратні числу

бути і B два відомих цілих числа, число кратно B тоді і тільки якщо є ціле число k такий як = B · K. Таким чином, набір кратних в отримується множеннямдля всіх цілих чисел, результати цих множення кратні .

Наприклад, перелічимо перші 12 кратних 2. Для цього нам потрібно помножити число 2 на перші 12 цілих чисел, наприклад:

2 · 1 = 2

2 · 2 = 4

2 · 3 = 6

2 · 4 = 8

2 · 5 = 10

2 · 6 = 12

2 · 7 = 14

2 · 8 = 16

2 · 9 = 18

2 · 10 = 20

2 · 11 = 22

2 · 12 = 24

Отже, кратні 2:

instagram story viewer

М (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

Зверніть увагу, що ми вказали лише перші 12 чисел, але ми могли б перерахувати їх стільки, скільки потрібно, оскільки список кратних дається множенням числа на всі цілі числа. Таким чином, множина кратних нескінченна.

Щоб перевірити, чи є число кратним чи іншому, ми повинні знайти ціле число, щоб при множенні між ними вийшло перше число. Див. Приклади:

→ Число 49 кратне 7, оскільки існує ціле число, яке, помножене на 7, дає 49.

49 = 7 · 7

→ Число 324 кратне 3, оскільки існує ціле число, яке, помножене на 3, дає 324.

324 = 3 · 108

→ Номер 523 немає кратно 2, оскільки немає цілого числа який, помножений на 2, дає 523.

523 = 2 · ?

Читайте також: Властивості множення, що полегшують розумовий розрахунок

Кратні 4

Як ми бачили, щоб визначити кратні числа 4, ми повинні помножити число 4 на цілі числа. Отже:

4 · 1 = 4

4 · 2 = 8

4 · 3 = 12

4 · 4 = 16

4 · 5 = 20

4 · 6 = 24

4 · 7 = 28

4 · 8 = 32

4 · 9 = 36

4 · 10 = 40

4 · 11 = 44

4 · 12 = 48

...

Отже, кратні 4:

М (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }

Кратні 5

Аналогічно, ми маємо кратні 5.

5 · 1 = 5

5 · 2 = 5

5 · 3 = 15

5 · 4 = 20

5 · 5 = 25

5 · 6 = 30

5 · 7 = 35

...

Отже, кратними 5 є: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…}

дільники одного числа

бути і B скажімо, два відомі цілі числа B є дільником якщо номер B кратно , тобто поділ між B і є точним (повинен залишити відпочинок 0).

Див. Кілька прикладів:

→ 22 - кратне 2, отже 2 - дільник 22.

→ 63 - кратне 3, отже 3 - дільник 63.

→ 121 не є кратним 10, отже 10 не є дільником 121.

Щоб перерахувати дільники числа, ми повинні шукати числа, які його ділять. Подивіться:

- Перелічіть дільники 2, 3 і 20.

D (2) = {1, 2}

D (3) = {1,3}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Зверніть увагу, що числа у списку дільників завжди діляться на число, про яке йдеться найвищим значенням, яке відображається в цьому списку, є саме число., оскільки жодне число, що не перевищує його, не буде ділитися на нього.

Наприклад, у дільниках 30 найбільшим значенням у цьому списку є саме 30, оскільки жодне число, більше 30, не буде ділитися на нього. Отже:

D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Дізнайтеся більше: Цікаві факти про ділення натуральних чисел

Право власності на кратні і дільники

Ці властивості пов'язані з поділ між двома цілими числами. Зверніть увагу, що коли ціле число кратне іншому, воно також ділиться на це інше число.

Розглянемо алгоритм ділення щоб ми могли краще зрозуміти властивості.

N = d · q + r, де q і r - цілі числа.

пам'ятайте, що N це називається дивідендів;d, для дільника;q, для коефіцієнта; і r, до речі.

→ Властивість 1: Різниця між дивідендом і залишком (N - r) кратна дільнику, або число d є дільником (N - r).

→ Властивість 2: (N - r + d) є кратним d, тобто число d є дільником (N - r + d).

Див. Приклад:

- Виконуючи ділення 525 на 8, отримуємо частку q = 65, а залишок r = 5. Таким чином, маємо дивіденд N = 525 і дільник d = 8. Переконайтеся, що властивості задовольняються, оскільки (525 - 5 + 8) = 528 ділиться на 8 і:

528 = 8 · 66

прості числа

ти прості числа це ті, що мати як дільник у своєму списку лише число 1 і саме число. Щоб перевірити, чи є число простим чи ні, одним з найбільш тривіальних методів є перелік дільників цього числа. Якщо з’являються числа більше 1 і число, про яке йдеться, це не є простим.

→ Перевірте, які є простими числами від 2 до 20. Для цього перелічимо дільники всіх цих чисел від 2 до 20.

D (2) = {1, 2}

D (3) = {1,3}

D (4) = {1, 2, 4}

D (5) = {1, 5}

D (6) = {1, 2, 3, 6}

D (7) = {1, 7}

D (8) = {1, 2, 4, 8}

D (9) = {1, 3, 9}

D (10) = {1, 2, 5, 10}

D (11) = {1, 11}

D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D (13) = {1, 13}

D (14) = {1, 2, 7, 14}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

D (16) = {1, 2, 4, 16}

D (17) = {1, 17}

D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D (19) = {1, 19}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Отже, простими числами від 2 до 20 є:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 та 19}

Зверніть увагу, що набір походить з деяких перших простих чисел, цей список можна продовжувати. Зверніть увагу, що чим більше число, тим важче стає визначити, чи є воно простим чи ні.

Детальніше: Ірраціональні числа: ті, які неможливо представити дробами

розв’язані вправи

питання 1 - (UMC-SP) Кількість елементів у наборі простих дільників 60 становить:

а) 3

б) 4

в) 5

г) 10

Рішення

Альтернатива A

Спочатку ми перелічимо дільники 60, а потім подивимось, які з них є простими.

D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

З цих чисел ми маємо прості:

{2, 3, 5}

Отже, число простих дільників 60 дорівнює 3.

питання 2 - Запишіть усі натуральні числа менше 100 і кратні 15.

Рішення

Ми знаємо, що кратні 15 - це результати множення числа 15 на всі цілі числа. Оскільки вправа просить записати натуральні числа менше 100, які кратні 15, ми повинні помножте 15 на всі числа, більші за нуль, поки не знайдемо найбільшого кратного до 100, таким чином:

15 · 1 = 15

15 · 2 = 30

15 · 3 = 45

15 · 4 = 60

15 · 5 = 75

15 · 6 = 90

15 · 7 = 105

Отже, натуральними числами менше 100 і кратними 15 є:

{15, 30, 45, 60, 75, 90}

питання 3 - Яке найбільше кратне 5 між 100 і 1001?

Рішення

Щоб визначити найбільший кратний 5 між 100 і 1001, просто визначте перший кратний 5 назад наперед.