Один арифметична прогресія (PA) є a послідовність числовий, в якому кожен доданок є сумою попереднього на постійну, що називається відношенням. Вони існують математичні вирази визначити термін дії ПА та розрахувати суму його немає перші терміни.
Формула, яка використовується для обчислення сума термінів кінцевого PA або суми немає Перші умови ПА такі:
sнемає = в1 +немає)
2
* n - кількість термінів BP;1 - перший термін, анемає є останнім.
Походження суми термінів ПА
Кажуть, німецький математик Карл Фрідріх Гаус, приблизно у віці 10 років, був покараний своїм класом у школі. Вчитель сказав учням скласти всі цифри, які є в послідовність від 1 до 100.
Гаус не тільки перший фінішував за дуже короткий проміжок часу, він також єдиний, хто отримав правильний результат (5050). Крім того, він не показав жодних розрахунків. Він зробив ремонт такого майна:
Сума двох доданків, рівновіддалених від крайнощів скінченного PA, дорівнює сумі крайнощів.
Не було знань про ПАН в той час, але Гаус переглянув список чисел і зрозумів, що додавання першого до останнього призведе до 101; додаючи другу до передостанньої, результат також буде 101 і так далі. Як сума всіх пар доданків
рівновіддалений з крайнощів досягли 101, Гаусу потрібно було лише помножити це число на половину доступних термінів, щоб знайти результат 5050.Зверніть увагу, що від числа 1 до числа 100 існує рівно 100 чисел. Гаус зрозумів, що якщо він додасть їх два по два, він отримає 50 результатів, рівних 101. Отже, це множення було здійснено на половину загальних доданків.
Демонстрація суми доданків ПА
Цей подвиг породив вираз, що використовується для обчислення сума немає перші умови PA. Тактика, яка використовувалася для отримання цього виразу, така:
дана одна ПАН будь-який, ми додамо перші n його умов. Математично ми матимемо:
sнемає =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +немає
Трохи нижче цього сума термінів, ми напишемо інший, з тими ж термінами, що і попередній, але у зменшуваному значенні. Зауважимо, що сума доданків у першій дорівнює сумі доданків у другій. Тому обидва були прирівняні до Sнемає.
sнемає =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +немає
sнемає =немає +n - 1 +n - 2 +… +3 +2 +1
Зверніть увагу, що ці два вирази були отримані з одного ПАН і що рівновіддалені доданки вирівняні по вертикалі. Тому ми можемо додати вирази, щоб отримати:
sнемає =1 +2 +3 +… +n - 2 +n - 1 +немає
+ sнемає =немає +n - 1 +n - 2 +… +3 +2 +1
2Sнемає = (1 +немає) + (а2 +n - 1) +… + (Аn - 1 +2) + (анемає +1)
Пам’ятайте, що сума доданків, рівновіддалених від крайнощів, дорівнює сумі крайнощів. Отже, кожну дужку можна замінити сумою крайнощів, як ми зробимо далі:
2Sнемає = (1 +немає) + (а1 +немає) +... + (1 +немає) + (а1 +немає)
Ідея Гауса полягала в додаванні рівновіддалених членів послідовності. Тож він отримав половину суми термінів ПАН в результатах 101. Ми зробили так, щоб кожен доданок початкового ВР додався до свого рівновіддаленого значення, зберігаючи своє кількість термінів. Таким чином, оскільки у ПА було n доданків, ми можемо змінити суму, у виразі вище, множенням і розв’язати рівняння знайти:
2Sнемає = (1 +немає) + (а1 +немає) +... + (1 +немає) + (а1 +немає)
2Sнемає = n (a1 +немає)
sнемає = в1 +немає)
2
Саме така формула використовується для додавання немає перші умови PA.
Приклад
Враховуючи P.A (1, 2, 3, 4), визначте суму його перших 100 доданків.
Рішення:
Нам потрібно буде знайти термін а100. Для цього ми будемо використовувати загальний термін формула ПА:
немає =1 + (n - 1) r
100 = 1 + (100 – 1)1
100 = 1 + 99
100 = 100
Тепер формула суми перших n доданків:
sнемає = в1 +немає)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm
