До операції з множинами це союз, перетин і різниця. Результатом кожної з цих операцій є новий набір. Для позначення об’єднання між множинами ми використовуємо символ ∪; для перетину символ ∩; і для різниці, символ віднімання\(-\). У разі розбіжності важливо дотримуватися порядку, в якому буде виконуватися операція. Іншими словами, якщо A і B є множинами, то різниця між A і B відрізняється від різниці між B і A.
Читайте також: Діаграма Венна — геометричне зображення множин і операцій між ними
Короткий зміст операцій з множинами
Операціями з множинами є: об'єднання, перетин і різниця.
Об’єднання (або зустріч) множин A і B є множиною A ∪ B, утвореною елементами, які належать A або належать B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ або\ x∈B\}\)
Перетином множин A і B є множина A ∩ B, утворена елементами, які належать A і належать B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ і\ x∈B\}\)
Різниця між множинами A і B полягає в множині A – B, утвореній елементами, які належать A і не належать B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Якщо U (відомий як множина всесвіту) — це множина, яка містить усі множини в даному контексті, то різниця U – A, де A ⊂ U, називається доповненням до A. Доповнення до A утворено елементами, які не належать до A, і представлене
Аw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Відеоурок по операціях з множинами
Що таке три операції з множинами?
Три операції з наборами є: об'єднання, перетин і різниця.
Об'єднання множин
Об’єднання (або зустріч) множин A і B є множиною A ∪ B (читайте «Об’єднання B»). Ця множина складається з усіх елементів, які належать множині A або належать множині B, тобто елементи, які належать хоча б одній із множин.
Представляючи елементи A ∪ B через x, запишемо
\(A∪B=\{x; x∈A\ або\ x∈B\}\)
На зображенні нижче помаранчева область є встановити А ∪B.
Здається, важко? Давайте розглянемо два приклади!
приклад 1:
Яка множина A ∪ B, якщо A = {7, 8} і B = {12, 15}?
Множина A ∪ B утворена елементами, що належать A або належать Б. Оскільки елементи 7 і 8 належать множині A, то обидва вони повинні належати множині A ∪ B. Крім того, оскільки елементи 12 і 15 належать множині B, то обидва мають належати множині A ∪ B.
тому
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Зверніть увагу, що кожен з елементів A∪B належить або множині A, або множині B.
приклад 2:
Розглянемо множини A = {2, 5, 9} і B = {1, 9}. Що таке множина A ∪ B?
Оскільки елементи 2, 5 і 9 належать множині A, то всі вони повинні належати множині A∪B. Крім того, оскільки елементи 1 і 9 належать множині B, то всі вони повинні належати множині A ∪ B.
Зауважте, що ми згадували 9 двічі, оскільки цей елемент належить множині A та множині B. Кажучи, що «множина A ∪ B утворена елементами, які належать A або належать B” не виключає елементи, які одночасно належать множинам A і B.
Отже, у цьому прикладі ми маємо
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Зверніть увагу, що елемент 9 ми пишемо лише один раз.
Перетин множин
Перетином множин A і B є множина A ∩ B (читайте «Перетин B»). Ця множина складається з усіх елементів, які належать множині A Це є належать множині В. Іншими словами, A ∩ B складається із спільних елементів множин A і B.
Позначаючи елементи A ∩ B через x, запишемо
\(A∩B=\{x; x∈A\ і\ x∈B\}\)
На зображенні нижче помаранчева область є встановити А ∩B.
Давайте розв’яжемо два приклади про перетин множин!
приклад 1:
Розглянемо A = {-1, 6, 13} і B = {0, 1, 6, 13}. Що таке множина A ∩ B?
Множина A ∩ B утворена всіма елементами, які належать множині A Це є належать множині В. Зверніть увагу, що елементи 6 і 13 належать одночасно множинам A і B.
Подобається це,
A ∩ B={6, 13}
приклад 2:
Що є перетином між множинами A = {0,4} і \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Зверніть увагу, що між множинами A і B немає спільного елемента. Таким чином, перетин є множиною без елементів, тобто порожньою множиною.
тому
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Різниця між наборами
Різниця між множинами A і B є множиною A – B (читайте «різниця між A і B»). Цей набір складається з всі елементи, які належать множині А і не належать множині В.
Зображуючи елементи A – B через x, запишемо
\(A-B=\{x; x∈A\ і\ x∉B\}\)
На зображенні нижче помаранчева область є setA – B.
Увага: різниця між множинами A і B не є різницею між множинами B і A, тому що B – A утворено всіма елементами, які належать до множини B і не належать до множини A.
Розгляньте наведені нижче два приклади про різницю між наборами.
приклад 1:
Якщо A = {-7, 2, 100} і B = {2, 50}, то яка множина A – B? А як щодо множини B – A?
НабірA-B складається з усіх елементів множини А Це єнемає належать множині В. Зверніть увагу, що 2 є єдиним елементом у множині A, який також належить множині B. Отже, 2 не належить множині A – B.
тому
A – B = {-7, 100}
Крім того, множина B – A утворена всіма елементами, які належать множині B Це єнемає належать множині А. тому
B – A = {50}
приклад 2:
Чим відрізняється множина A = {–4, 0} від множини B = {–3}?
Зверніть увагу, що жоден з елементів A не належить B. Таким чином, різниця A – B є сама множина A.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Спостереження: Вважайте, що U (так званий набір всесвіту) є набором, який містить усі інші набори в даній ситуації. Подобається це, різниця U–A, с А⊂U, є множиною, яка називається додатковою до A і зображено як \(до н.е.\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
На наступному зображенні прямокутник — це набір всесвіту, а помаранчева область — набір всесвіту \(до н.е.\).
Дізнайтеся більше: Покроково як зробити ділення
Розв’язані вправи на операції з безліччю
питання 1
Розглянемо набори A = {–12, –5, 3} і B = {–10, 0, 3, 7} та класифікуємо кожне твердження нижче як T (вірно) або F (хибно).
я A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Правильний порядок, зверху вниз
А) V-V-V
Б) F-V-V
В) V-F-V
D) F-F-V
Д) Ж-Ж-Ж
роздільна здатність
я Помилковий.
Елемент 0 повинен належати до об’єднання A і B, оскільки 0 ∈ B. Таким чином, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. правда
III. правда
Альтернатива Б.
Питання 2
Розглянемо A = {4, 5}, B = {6,7} і C = {7,8}. Тоді множина A ∪ B ∩ C є
А) {7}.
B) {8}.
В) {7, 8}.
Г) {6,7,8}.
Д) {4, 5, 6, 7, 8}.
роздільна здатність
Зауважте, що A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Отже, множина A ∪ B ∩ C є перетином між A ∪ B = {4, 5, 6, 7} і C = {7,8}. скоро,
A ∪ B ∩ C = {7}
Альтернатива А.
Джерела
ЛІМА, Ілон Л.. Курс аналізу. 7 вид. Ріо-де-Жанейро: IMPA, 1992. v.1.
ЛІМА, Ілон Л. та ін. Математика середньої школи. 11. вид. Збірка для вчителя математики. Ріо-де-Жанейро: SBM, 2016. v.1.
