А числова послідовність це набір чисел, організованих упорядкованим чином. Числову послідовність можна скласти за різними критеріями — наприклад, послідовність парних чисел або послідовність кратних 3. Коли ми можемо описати цей критерій формулою, ми називаємо цю формулу законом утворення числової послідовності.
Читайте також: Відмінності між числом, числом і цифрою
Підсумок про числову послідовність
Числова послідовність — це список чисел, розташованих у порядку.
Числова послідовність може відповідати різним критеріям.
Закон виникнення числової послідовності - це список елементів, які існують у послідовності.
Послідовність можна класифікувати двома способами. Один враховує кількість елементів, а інший — поведінку.
Що стосується кількості елементів, то послідовність може бути кінцевою або нескінченною.
Що стосується поведінки, то послідовність може бути зростаючою, постійною, спадаючою або коливальною.
Якщо числову послідовність можна описати рівнянням, це рівняння називається законом утворення числової послідовності.
Що таке послідовності?
Послідовності є набори елементів, розташованих у певному порядку. У нашому повсякденному житті ми можемо сприймати кілька ситуацій, які включають послідовності:
Послідовність місяців: Січень, лютий, березень, квітень,..., грудень.
Послідовність років перших 5 чемпіонатів світу 21 століття: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Існує кілька інших можливих послідовностей, наприклад послідовність імен або вікова послідовність. Щоразу, коли є встановлений порядок, існує послідовність.
Кожен елемент послідовності відомий як член послідовності, тому в послідовності є перший член, другий член і так далі. загалом, послідовність може бути представлена:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(до 1\) → перший доданок.
\(a_2\) → другий доданок.
\(a_3\) → третій доданок.
\(a_n\) → будь-який термін.
Закон виникнення числового ряду
Ми можемо мати послідовності різних елементів, таких як місяці, назви, дні тижня тощо. Апослідовність — це числова послідовність, якщо вона містить числа. Ми можемо сформувати послідовність парних чисел, непарних чисел, прості числа, кратні 5 тощо.
Послідовність представлена за допомогою закону входження. Закон входження - це не що інше, як перелік елементів числової послідовності.
приклади:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → послідовність непарних чисел від 1 до 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → послідовність чисел, кратних 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → змінна послідовність між 1 і -1.
Яка класифікація числового ряду?
Ми можемо класифікувати послідовності двома різними способами. Один з них враховує кількість елементів, а інший враховує поведінку цих елементів.
→ Класифікація числового ряду за кількістю елементів
Коли ми класифікуємо послідовність за кількістю елементів, існує дві можливі класифікації: скінченна послідовність і нескінченна послідовність.
◦ Скінченна послідовність чисел
Послідовність є скінченною, якщо вона має обмежену кількість елементів.
приклади:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Нескінченна послідовність чисел
Послідовність нескінченна, якщо вона містить необмежену кількість елементів.
приклади:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Класифікація числової послідовності відповідно до поведінки послідовності
Інший спосіб класифікації – це поведінка послідовності. При цьому послідовність може бути зростаючою, постійною, коливальною або спадаючою.
◦ Зростаюча числова послідовність
Послідовність зростає, якщо термін завжди більший за свого попередника.
приклади:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Послідовність постійних чисел
Послідовність є постійною, якщо всі члени мають однакові значення.
приклади:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Спадання числа
Послідовність є спадною, якщо члени в послідовності завжди менші за своїх попередніх.
приклади:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Коливальний ряд чисел
Послідовність є осцилюючою, якщо по черзі є члени, більші за своїх попередників, і члени, менші за своїх попередників.
приклади:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Закон утворення числового ряду
У деяких випадках можна описати послідовність за допомогою формули, однак це не завжди можливо. Наприклад, послідовність простих чисел є чітко визначеною послідовністю, однак ми не можемо описати її за допомогою формули. Знаючи формулу, ми змогли побудувати закон появи числової послідовності.
приклад 1:
Послідовність парних чисел, більша за нуль.
\(a_n=2n\)
Зверніть увагу, що при заміні п для одного натуральне число (1, 2, 3, 4, ...), знайдемо парне число:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Отже, ми маємо формулу, яка генерує члени послідовності, утвореної парними числами, більшими за нуль:
(2, 4, 6, 8, ...)
приклад 2:
Послідовність натуральних чисел більше 4.
\(a_n=4+n\)
Обчислюючи члени послідовності, маємо:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Написання закону виникнення:
(5, 6, 7, 8,…)
Дивіться також: Арифметична прогресія — окремий випадок числової послідовності
Розв’язані вправи на числову послідовність
питання 1
Числова послідовність має закон формування, рівний \(a_n=n^2+1\). Аналізуючи цю послідовність, можна стверджувати, що значення 5-го члена послідовності буде:
А) 6
Б) 10
В) 11
Г) 25
E) 26
роздільна здатність:
Альтернатива Е
Обчислюючи значення 5-го члена послідовності, маємо:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
Питання 2
Проаналізуйте наступні числові ряди:
я (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Ми можемо стверджувати, що послідовності I, II і III класифікуються відповідно як:
А) зростаюча, коливальна і спадна.
Б) спадна, зростаюча та коливальна.
В) коливальний, постійний і зростаючий.
Г) спадаючий, коливальний і постійний.
Д) коливальні, спадні та зростаючі.
роздільна здатність:
Альтернатива C
Аналізуючи послідовності, можна стверджувати, що:
я (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Він коливається, оскільки є терміни, які більші за своїх попередників, і терміни, які менші за своїх попередників.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Він постійний, оскільки члени послідовності завжди однакові.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Він збільшується, оскільки терміни завжди більші, ніж у попередників.
