А вкорінення Це математична операція, як і додавання, віднімання, множення, ділення та потенціювання. Подібно до того, як віднімання є операцією, оберненою до додавання, а ділення є операцією, оберненою множенню, випромінювання є операцією, оберненою до потенціювання. Таким чином, для дійсних додатних x і y і цілого числа n (більшого або рівного 2), якщо x, піднесене до n, дорівнює y, ми можемо сказати, що корінь n з y дорівнює x. У математичній нотації: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Читайте також:Потенціювання і випромінювання фракцій — як це зробити?
Резюме про рутинг
Рутифікація — це математична операція.
Випромінювання та потенціювання є зворотними операціями, тобто для позитивних x і y, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Обчислення кореня n-го числа з числа y означає знаходження такого числа x, що x, піднесене до n, дорівнює y.
Читання кореня залежить від індексу n. Якщо n = 2, ми називаємо це коренем квадратним, а якщо n = 3, ми називаємо його коренем кубічним.
В операціях з радикалами ми використовуємо терми з однаковим індексом.
Радіація має важливі властивості, які полегшують її розрахунок.
Відеоурок з рутингу
Зображення кореня
Щоб представити вкорінення, ми повинні розглянути три задіяні елементи: підкорене вираз, індекс і корінь. Символ \(√\) називається радикалом.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
У цьому прикладі y — підкорене вираз, n — індекс і x — корінь. Він читається «корінь n-ної міри з y дорівнює x». Тоді як x і y представляють додатні дійсні числа, n представляє ціле число, що дорівнює або перевищує 2. Важливо відзначити, що для n = 2 індекс можна опустити. Так, наприклад, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Ми можемо представити випромінювання за допомогою підкореного виразу з дробовим показником. Формально ми говоримо, що корінь n-го числа з \(y^m\) можна записати як y, піднесене до дробового показника \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Подивіться приклади:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Відмінності між радіацією та потенціюванням
Потенціювання і випромінювання є оберненими математичними операціями. Це означає, що якщо \(x^n=y\), потім \(\sqrt[n]{y}=x\). Здається, важко? Давайте розглянемо кілька прикладів.
Якщо \(3^2=9\), потім \(\sqrt[2]{9}=3\).
Якщо \(2^3=8\), потім \(\sqrt[3]{8}=2\).
Якщо \(5^4=625\), потім \(\sqrt[4]{625}=5\).
Як читати корінь?
Щоб прочитати корінь, ми повинні враховувати індекс п. Якщо n = 2, ми називаємо це квадратним коренем. Якщо n = 3, ми називаємо це кубічним коренем. Для цінностей п більші, використовуємо номенклатуру для порядкових числівників: четвертий корінь (якщо n = 4), п’ятий корінь (якщо n = 5) тощо. Подивіться кілька прикладів:
\(\sqrt[2]{9}\) – квадратний корінь з 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – корінь кубічний з 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – четвертий корінь із 625.
Як обчислити корінь з числа?
Нижче ми побачимо, як обчислити корінь додатного дійсного числа. Для обчислення кореня з числа, ми повинні розглянути відповідну обернену операцію. Тобто, якщо ми шукаємо корінь n-го числа з числа y, ми повинні шукати таке число x, що \(x^n=y\).
Залежно від значення y (тобто підкореного виразу) цей процес може бути простим або трудомістким. Давайте розглянемо кілька прикладів обчислення кореня з числа.
приклад 1:
Чому дорівнює квадратний корінь із 144?
роздільна здатність:
Назвемо шукане число x, тобто \(\sqrt{144}=x\). Зауважте, що це означає пошук такого числа x, що \(x^2=144\). Давайте перевіримо деякі можливості з натуральними числами:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
тому \(\sqrt{144}=12\).
приклад 2:
Чому дорівнює кубічний корінь із 100?
роздільна здатність:
Назвемо шукане число x, тобто \(\sqrt[3]{100}=x\). Це означає що \(x^3=100\). Давайте перевіримо деякі можливості:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Зауважте, що ми шукаємо число між 4 і 5, як \(4^3=64\) Це є \(5^3=125\). Отже, давайте перевіримо деякі можливості з числами від 4 до 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
як \(4,6^3 \) є числом, близьким до 100 і меншим за нього, можна сказати, що 4,6 є наближенням кубічного кореня зі 100. тому \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Важливо:Коли корінь є раціональним числом, ми говоримо, що корінь точний; інакше корінь не є точним. У наведеному вище прикладі ми визначаємо діапазон між точними коренями, де знайдено шуканий корінь:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Ця стратегія дуже корисна для обчислення наближених коренів.
Операції з радикалами
В операціях з радикалами ми використовуємо терми з однаковим індексом. Враховуючи це, уважно прочитайте наступну інформацію.
→ Додавання і віднімання між радикалами
Щоб розв’язати додавання або віднімання радикалів, ми повинні обчислити корінь кожного радикала окремо.
приклади:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Важливо: Неможливо оперувати радикалами в операціях додавання та віднімання. Зверніть увагу, що, наприклад, операція \(\sqrt4+\sqrt9\) призводить до іншої кількості \(\sqrt{13}\), навіть якщо \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Множення та ділення між радикалами
Щоб вирішити множення або ділення між радикалами, ми можемо обчислити корінь кожного радикала окремо, але ми також можемо використовувати властивості випромінювання, які ми побачимо нижче.
приклади:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Які властивості випромінювання?
→ Властивість 1 радіації
Якщо y — додатне число, то корінь n-го числа з \(y^n\) дорівнює y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Дивіться приклад:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Ця властивість широко використовується для спрощення виразів з радикалами.
→ Властивість 2 радіації
Корінь n-ної міри з добутку \(y⋅z\) дорівнює добутку коренів n-го числа y і z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Дивіться приклад:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Важливо: Коли ми обчислюємо корінь із великого числа, це дуже корисно розкласти (розкласти) підкорене вираз на прості числа і застосувати властивості 1 і 2. Дивіться наступний приклад, у якому ми хочемо обчислити \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Подобається це,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Властивість 3вкорінення
Корінь n-ної частки \(\frac{y}z\), с \(z≠0\), дорівнює частці коренів n-го з y і z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Дивіться приклад:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Властивість 4 радіації
Корінь n-го числа з y, зведений до показника m, дорівнює кореню n-го ступеня з \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Дивіться приклад:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Дивіться також: Які властивості потенціювання?
Вирішені вправи на радіацію
питання 1
(ФГВ) Спрощення \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), Ви отримуєте:
А) 0
Б) - 23
В) - 43
Г) - 63
Г) - 83
роздільна здатність:
Альтернатива C.
Зауважимо, що використовуючи властивості випромінювання, ми маємо
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Таким чином, ми можемо переписати вираз твердження як
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Проставлення терміну \(\sqrt3\) доказів, ми приходимо до висновку, що
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Питання 2
(Цефет) На яке число треба помножити число 0,75, щоб квадратний корінь з отриманого добутку дорівнював 45?
А) 2700
Б) 2800
В) 2900
Г) 3000
роздільна здатність:
Альтернатива А.
Шукане число дорівнює х. Таким чином, згідно із заявою,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
тому
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
