Він відомий як раціональне число кожне число, яке можна представити у вигляді незнижуваної частки. Протягом історії людства уявлення про число поступово розвивалося відповідно до людських потреб. Наприклад, подання чисел у частках розв'язувало задачі, які вирішувались лише за допомогою цілі числа.
Раціональне число можна представити з дробу, тому існують методи перетворення цілих чисел, десяткові числа точні та періодичні десяткові дроби у частках.
Читайте також: Операції з дробами - як вирішити?
Що таке раціональні числа?
Раціональні числа такі розширення набору цілих чисел, тоді, крім цілих чисел, додавались всі дроби. О встановити раціональних чисел представлено:
Це представлення говорить про те, що число є раціональним, якщо його можна представити як дріб про B, такий як є цілим числом і B є ненульовим цілим числом. Але якщо ми хочемо визначити раціональні числа менш суворо, ми можемо сказати наступне:
Раціональні числа - це всі числа, які можна представити у вигляді дробу. |
Дотримуйтесь цього визначення:
ти цілі числаs, наприклад: -10, 7, 0;
ти точні десяткові числа, наприклад: 1,25; 0,1; 3,1415;
в прості періодичні десятини, наприклад: 1.424242…;
в складання періодичної десятини, наприклад: 1.0288888 ...
Немає є раціональними числами:
В неперіодична десятина, наприклад: 4,1239489201…;
В корінняне точно, наприклад:
;- THE жабаiz кв від’ємні числа, наприклад:
.
Спостереження: Існування нераціональних чисел призводить до появи інших наборів, таких як ірраціональні числа та комплексні числа.
Представлення раціональних чисел
Розуміння того, що дріб - це a поділ двох цілих чисел, щоб бути раціональним числом, ви можете представити це число у вигляді дробу. Отже, кожен із зазначених вище випадків як раціональні числа (цілі числа, точні десяткові і періодичні десяткові) можуть бути представлені у вигляді дробу.
цілі числа
Існує нескінченна можливість представляти ціле число як дріб, оскільки дріб може бути представлений у незводимому вигляді чи ні.
Приклади:
точні знаки після коми
Щоб перетворити точне десяткове число в дріб, ми підраховуємо кількість чисел у його десятковій частині, тобто після десяткової коми. Якщо після коми є число, ми напишемо цілу частину плюс десяткову частину без коми більше 10. Якщо в десятковій частині більше 100, на практиці сума чисел у десятковій частині буде такою, якою ми маємо знаменник. Див. Приклад:
періодична десятина
Знайти дробове представлення десятини не завжди є простим завданням, що ми називаємо генеруюча фракція. Для полегшення цієї роботи було помічено, що в рівнянні, яке ми використовували для знаходження утворюючої частки, є закономірності, що дозволило розробити практичний метод.
По-перше, нам слід зрозуміти, що існує два типи періодичної десятини, проста та складена. Один десятина проста якщо в його десятковій частині є лише та частина, яка повторюється, тобто крапка. Один десятина складена якщо в його десятковій частині є неперіодична частина.
Приклад:
9,323232… → простий періодичний десятковий знак
Ціла частина дорівнює 9.
Період дорівнює 32.
8,7151515… → складена періодична десятина
Ціла частина дорівнює 8.
Неперіодична десяткова частина дорівнює 7.
Період дорівнює 15.
Дивіться також: Еквівалентні дроби - дроби, що представляють однакову кількість
→ 1-й випадок: генерування дробу простого періодичного десяткового дробу
У першому випадку до перетворити простий періодичний десятковий знак у дріб практичним методом просто запишіть у чисельнику всю частину плюс крапку без коми. У знаменнику для кожного елемента в періодичній частині додаємо 9.
Приклад:
Творна частка 9,323232…, як ми бачили, має період, що дорівнює 32, тобто два числа у своєму періоді, тому знаменник дорівнює 99. Ціла частина плюс періодична частина без коми дорівнює 932, що є чисельником. Отже, утворююча частка цієї десятини:
→ 2-й випадок: генерування частки складеного періодичного десяткового дробу
Періодична складова десятина трохи більш копітка. Знайдемо твірну частку десятини, над якою ми працювали, на прикладі.
8,7151515… → складений періодичний десятковий знак.
Ціла частина дорівнює 8.
Неперіодична десяткова частина дорівнює 7.
Десяткова частина періоду дорівнює 15.
Чисельник буде віднімання 8715 - 87, тобто різниця між числом, яке переходить від цілої частини до періодичної з неповторюваною частиною десятини.
Чисельник буде дорівнює 8715 - 87 = 8628.
Щоб знайти знаменник, проаналізуємо десяткову частину. Спочатку розглянемо неперіодичну та періодичну десяткову частину. У цьому випадку десяткова частина числа дорівнює 715. До кожного числа, що знаходиться в періодичній частині, додамо a 9 на початку знаменника. Оскільки періодична частина в цьому випадку має два числа (15), у знаменнику буде два 9. До кожного числа в десятковій частині, яке не є періодичним, ми додамо a 0 в кінці знаменника, який буде 990.
Незабаром, генеруюча фракція десятини становитиме:
Властивості раціональних чисел
Між двома раціональними числами завжди буде інше раціональне число
Цікаво думати про цю властивість, яку багато обговорювали стародавні народи, ставши парадоксальним. Вибираючи два раціональних числа, між ними завжди буде число.
Приклад:
Між 1 і 2 - 1,5; від 1 до 1,5 - 1,25; між 1 і 1,25 є 1,125 і так далі. Наскільки я вибираю два раціональних числа з дуже малою різницею між ними, завжди можна знайти раціональне число між ними. Ця властивість робить неможливо визначити наступника та попередника в раціональних числах.
Чотири операції на множині раціональних чисел закриті
Ми говоримо, що набір для сума, наприклад, якщо сума двох раціональних чисел завжди породжує інше раціональне число як відповідь. Це те, що відбувається з чотирма операціями над Q.
THE додавання, віднімання, ділення і множення між двома раціональними числами завжди вийде раціональне число. Насправді навіть потенціювання раціонального числа завжди буде генерувати раціональне число як відповідь.
Набір раціональних чисел не закрито для радикація. Таким чином, москільки 2 - раціональне число, квадратний корінь з 2 - a ірраціональне число.
Дивіться також: Еквівалентні дроби - дроби, що представляють однакову кількість
Підмножини раціональних чисел
Ми знаємо як підмножини або відношення включення множини, утворені елементами, що належать до множини раціональних чисел. Є кілька можливих підмножин, як набір цілих чисел або природний, оскільки кожне ціле число є раціональним, як і кожне натуральне число є раціональним.
Приклад:
Набір цілих чисел: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Коли це трапляється, ми це говоримо Z ⸦ Q (Це читається: Z міститься в Q або набір цілих чисел міститься в наборі раціональних чисел.)
Є деякі символи, які є важливими для створення підмножин Q, це: +, - та *, що означають, відповідно, позитивні, негативні та ненульові.
Приклади:
Q * → (читається: набір ненульових раціональних чисел.)
Питання+ → (читається: набір додатних раціональних чисел.)
Питання- → (читається: набір від’ємних раціональних чисел.)
Питання*+ → (читається: набір додатних і ненульових раціональних чисел.)
Питання*- → (читається: набір від’ємних та ненульових раціональних чисел.)
Зауважимо, що всі ці множини є підмножинами Q, оскільки всі елементи належать до множини раціональних чисел. На додаток до представлених множин, ми можемо працювати з кількома підмножинами в Q, такими як множина, утворена непарними числами, або кузени, або пари, нарешті, існує кілька і кілька можливостей підмножин.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
