Кратність кореня

При розв’язуванні рівняння 2-го ступеня х² - 6x + 9 = 0, знаходимо два корені, рівні 3. Використовуючи теорему розкладу, розкладемо множник на множини і отримаємо:
х² - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)²
У цьому випадку ми говоримо, що 3 - корінь кратності 2 або подвійний корінь рівняння.
Таким чином, якщо множник із множника приводить до такого виразу:

Можна сказати, що:
x = -5 - корінь з кратністю 3 або потрійний корінь рівняння p (x) = 0
x = -4 - корінь з кратністю 2 або подвійний корінь рівняння p (x) = 0
x = 2 - корінь з кратністю 1 або простий корінь рівняння p (x) = 0
Загалом, ми говоримо, що r - корінь кратності n, при n ≥ 1, рівняння p (x) = 0, якщо:

Зверніть увагу, що p (x) ділиться на (x - r)^м і що умова q (r) ≠ 0 означає, що r не є коренем q (x) і гарантує, що кратність кореня r не перевищує m.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння x⁴ - 9x³ + 23x² - 3x - 36 = 0, враховуючи, що 3 - подвійний корінь.
Розв’язання: Вважайте p (x) заданим многочленом. Отже:

Зауважимо, що q (x) отримується діленням p (x) на (x - 3)

².
Поділивши на практичний пристрій Бріота-Руффіні, ми отримуємо:

Виконавши ділення, ми бачимо, що коефіцієнти многочлена q (x) дорівнюють 1, -3 та -4. Таким чином, q (x) = 0 буде: x² - 3x - 4 = 0
Розв’яжемо наведене вище рівняння, щоб визначити інші корені.
х² - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 або x = 4
Отже, S = {-1, 3, 4}
Приклад 2. Напишіть алгебраїчне рівняння мінімального ступеня таким чином, що 2 - подвійний корінь, а - 1 - один корінь.
Рішення: Ми повинні:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Або

Марсело Рігонатто
Фахівець зі статистики та математичного моделювання
Шкільна команда Бразилії

Поліноми - Математика - Бразильська школа

Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm