Ми знаємо як прогресії приватні випадки числові послідовності. Є два випадки прогресії:
арифметична прогресія
геометрична прогресія
Щоб бути прогресією, нам потрібно проаналізувати характеристики послідовності, якщо є причина, яку ми називаємо. коли прогресія є арифметика, причина - не що інше, як константа, яку ми додаємо до терміна, щоб знайти його наступника в послідовності; зараз, при роботі з прогресією геометричні, причина має подібну функцію, лише в цьому випадку причина - це постійний доданок, на який ми множимо доданок у послідовності, щоб знайти його наступника.
Через передбачувана поведінка прогресії, існують конкретні формули для пошуку будь-якого терміна в цих послідовностях, і також можна розробити a формула для кожного з них (тобто одна для арифметичної прогресії та одна для геометричної прогресії) для обчислення суми Віднемає перші терміни цього прогресу.
Читайте також: Функції - що це і для чого вони потрібні?
послідовність чисел
Щоб зрозуміти, що таке прогресії, нам спочатку потрібно зрозуміти, що це таке числові послідовності. Як випливає з назви, ми знаємо числову послідовність a набір чисел, які відповідають порядку, чітко визначені чи ні. На відміну від набори цифри, де порядок не має значення, в числовій послідовності порядок є важливим, наприклад:
Послідовність (1, 2, 3, 4, 5) відрізняється від (5, 4, 3, 2, 1), яка відрізняється від послідовності (1, 5, 4, 3, 2). Навіть якщо елементи однакові, оскільки порядок різний, тому ми маємо різні послідовності.
Приклади:
Ми можемо писати послідовності, утворення яких легко побачити:
а) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → послідовність парних чисел, менших або рівних 12.
б) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → регресивна послідовність непарних чисел від 17 до 5.
в) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → відомий як Послідовність Фібоначчі.
г) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → хоча описати цю послідовність, як інші, неможливо, легко передбачити, якими будуть її наступні умови.
В інших випадках послідовності можуть мати загальну випадковість у своїх значеннях, у будь-якому випадку, щоб бути послідовністю, важливим є наявність набору впорядкованих значень.
до 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)
б) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)
Наскільки неможливо передбачити, хто наступні терміни з літери b, ми все ще працюємо з продовженням.
Загалом, рядки завжди представлені в дужках (), наступним чином:
(The1, a2,3, a4,5, a6, a7, a8 …) → нескінченна послідовність
(The1, a2,3, a4,5, a6, a7, a8 … Анемає) → кінцева послідовність
В обох ми маємо таке подання:
1 → перший термін
2 → другий термін
3 → третій термін
.
.
.
немає → n-й термін
Спостереження: Дуже важливо, щоб, представляючи послідовність, дані вкладалися в дужки. Позначення послідовності часто плутають із набором позначень. Набір представлений у фігурних дужках, і в наборі порядок не важливий, що в цьому випадку все робить різницю.
(1, 2, 3, 4, 5) → послідовність
{1, 2, 3, 4, 5} → встановити
Є окремі випадки послідовності, які відомі як прогресії.
Дивіться також: Що є основним принципом підрахунку?
Що таке прогресії?
Послідовність визначається як прогресія, коли вона має регулярність від одного терміну до іншого, відомий як причина. Є два випадки прогресування, арифметична прогресія та геометрична прогресія. Щоб знати, як диференціювати кожного з них, нам потрібно зрозуміти, в чому причина прогресування і як ця причина взаємодіє з умовами послідовності.
Коли, від одного терміна до іншого в послідовності, я маю постійна сума, ця послідовність визначається як прогресія, і в даному випадку це a арифметична прогресія. Це значення, яке ми постійно складаємо, відоме як коефіцієнт. Інший випадок, тобто коли послідовність є геометрична прогресія, від одного терміна до іншого існує множення на постійне значення. Аналогічно, це значення є відношенням геометричної прогресії.
Приклади:
а) (1, 4, 7, 10, 13, 16 ...) → зауважте, що ми завжди додаємо 3 з одного доданка до іншого, тому маємо арифметичну прогресію відношення, рівну 3.
б) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → в цьому випадку ми завжди множимо на 10 від одного доданка до іншого, маючи справу з геометричною прогресією відношення 10.
в) (0, 2, 8, 26 ...) → в останньому випадку існує лише одна послідовність. Щоб знайти наступний доданок, ми множимо доданок на 3 і додаємо 2. Цей випадок, незважаючи на наявність закономірності пошуку наступних доданків, це просто послідовність, а не арифметична чи геометрична прогресія.
арифметична прогресія
Коли ми працюємо з числовими послідовностями, ті послідовності, в яких ми можемо передбачити їх наступні доданки, досить повторюються. Щоб ця послідовність була класифікована як арифметична прогресія, має бути a причина а. З першого терміну - наступний побудований за сумою попереднього терміну з причиною р.
Приклади:
а) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)
Це послідовність, яку можна класифікувати як арифметичну прогресію, оскільки причина р = 3, а перший доданок - 4.
б) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)
Ця послідовність є арифметичною прогресією з поважними причинами. р = -5, а його перший доданок дорівнює 7.
Умови ПП
У багатьох випадках наш інтерес полягає в тому, щоб знайти певний термін у прогресії без необхідності писати всю послідовність. Знаючи значення першого доданка і відношення, можна знайти значення будь-якого доданка в арифметичній прогресії. Щоб знайти умови ариметичної прогресії, ми використовуємо формулу:
немає =1+ (n - 1) r
Приклад:
Знайдіть 25-й доданок P.A, відношення якого дорівнює 3, а перший доданок - 12.
Дані р = 3,1 = 12. Ми хочемо знайти 25-й доданок, тобто n = 25.
немає =1+ (n - 1) r
25 = 12 + (25 - 1) · 3
25 = 12 + 24 · 3
25 = 12 + 72
25 = 84
Загальний термін П.А.
Загальний термін формула a спосіб спрощення формули терміна AP швидше знайти будь-який термін прогресування. Як тільки перший член і причина відомі, досить підставити у формулу термін П.А., щоб знайти загальний термін арифметичної прогресії, який залежить лише від значення немає.
Приклад:
Знайдіть загальний термін П.А., який має р = 3 та1 = 2.
немає = 2 + (n -1) р
немає = 2 + (n -1) 3
немає = 2 + 3n - 3
немає = 2n - 1
Це загальний термін П.А., який служить для пошуку будь-якого терміна в цій прогресії.
Сума термінів PA
THE сума термінів PA було б досить кропітко, якби потрібно було знайти кожен з його термінів і скласти їх. Існує формула для обчислення суми всіх немає перші члени арифметичної прогресії:
Приклад:
Знайдіть суму всіх непарних чисел від 1 до 100.
Ми знаємо, що непарні числа - це арифметична прогресія відношення 2: (1, 3, 5, 7... 99). У цій прогресії є 50 термінів, оскільки від 1 до 100 половина чисел є парними, а друга половина непарною.
Тому ми маємо:
n = 50
1 = 1
немає = 99
Також доступ: Функція 1 ступеня - практичне використання арифметичної прогресії
Геометрична прогресія
Рядок також можна класифікувати як прогресія геометричні (PG). Щоб послідовність була геометричною прогресією, вона повинна мати причину, але в цьому випадку, щоб знайти наступний доданок з першого члена, ми виконуємо множення коефіцієнта на попередній термін.
Приклади:
а) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → Геометрична прогресія відношення 2, і перший її член дорівнює 3.
б) (20, 200, 2000, 20 000…) → Геометрична прогресія відношення 10, і перший її член дорівнює 20.
Термін PG
У геометричній прогресії ми представляємо причину листа що. Термін геометричної прогресії можна знайти за формулою:
немає =1 · щоn - 1
Приклад:
Знайдіть 10 член ПГ, знаючи це що = 2 та1 = 5.
немає =1 · щоn - 1
10 = 5 · 210 - 1
10 = 5 · 29
10 = 5 · 512
10 = 2560
Загальний термін PG
Коли ми знаємо перший доданок і причину, можна сформулювати загальну формулу терміна з геометричної прогресії, яка залежить виключно від значення немає. Для цього нам просто потрібно замінити перший доданок і коефіцієнт, і ми знайдемо рівняння, яке залежить лише від значення немає.
Використовуючи попередній приклад, де коефіцієнт дорівнює 2, а перший доданок дорівнює 5, загальний термін для цього загального лікаря:
немає =1 · щоn - 1
немає = 5 · 2n - 1
Сума термінів PG
Додавання всіх умов прогресії було б великою роботою. У багатьох випадках написання всієї послідовності для досягнення цієї суми займає багато часу. Для полегшення цього обчислення геометрична прогресія має формулу, яка служить для обчислення сума немає перші елементи скінченного PG:
Приклад:
Знайдіть суму перших 10 доданків загальної практики (1, 2, 4, 8, 16, 32…).
Зверніть увагу, що співвідношення цього PG дорівнює 2.
1 = 1
що = 2
немає = 10
Читайте також: Експоненціальна функція - практичне використання геометричної прогресії
розв’язані вправи
Питання 1 - Протягом декількох днів вчені спостерігають певну культуру бактерій. Один з них аналізує приріст цієї популяції, і він помітив, що в перший день було 100 бактерій; у другому - 300 бактерій; у третій - 900 бактерій тощо. Аналізуючи цю послідовність, можна сказати, що це:
А) арифметична прогресія розуму 200.
Б) геометрична прогресія відношення 200.
В) ариметичне прогресування причини 3.
Г) геометрична прогресія відношення 3.
Д) послідовність, але не прогресія.
Дозвіл
Альтернатива D.
Аналізуючи послідовність, маємо терміни:
Зверніть увагу, що 900/300 = 3, а також 300/100 = 3. Отже, ми працюємо з PG із співвідношенням 3, оскільки множимо на три з першого доданка.
Питання 2 - (Enem - PPL) Для новачка в бігу був передбачений такий щоденний план тренувань: бігайте 300 метрів у перший день і збільшуйте 200 метрів на день з другого. Для підрахунку його результатів він використовуватиме чіп, прикріплений до кросівки, для вимірювання відстані, пройденої під час тренувань. Врахуйте, що цей чіп зберігає у своїй пам’яті максимум 9,5 км пробігу / ходьби, і його слід розмістити на початку тренування та викинути після вичерпання місця для резервування даних. Якщо цей спортсмен використовує фішку з першого дня тренувань, скільки днів поспіль ця фішка зможе зберігати пробіг цього щоденного плану тренувань?
А) 7
Б) 8
В) 9
Г) 12
Д) 13
Дозвіл
Альтернатива Б.
Аналізуючи ситуацію, ми знаємо, що у нас є ПА з причиною 200 та початковим закінченням, рівним 300.
Крім того, ми знаємо, що сума Sнемає = 9,5 км = 9500 метрів.
З цими даними знайдемо термін анемає, яка є кількістю кілометрів, зафіксованою в останній день зберігання.
Також варто пам'ятати, що будь-який термін aнемає можна записати як:
немає =1 + (n - 1)р
Враховуючи рівняння 200n² + 400n - 19000 = 0, ми можемо розділити всі доданки на 200, спростивши рівняння і знайшовши: n² + 2n - 95 = 0.
Для дельти та Баскари ми повинні:
a = 1
b = 2
c = -95
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)
Δ = 4 – 4 · (-95)
Δ = 4 + 380
Δ = 384
Ми знаємо, що 8,75 відповідає 8 дням і кільком годинам. У цьому випадку кількість днів, протягом яких можна проводити вимірювання, становить 8.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm