Операції з комплексними числами в тригонометричній формі полегшують обчислення за участю елементів цього набору. Множення та ділення комплексів, які перебувають у тригонометричній формі, виконуються майже миттєво, тоді як в алгебраїчній формі процес вимагає більших обчислень. Потенціювання та радикація комплексів у тригонометричній формі також полегшуються за допомогою формул Муавра. Давайте подивимося, як виконується вкорінення цих номерів:
Розглянемо будь-яке комплексне число z = a + bi. Тригонометрична форма z є:
Коріння n-індексу z задаються другою формулою Мойвра:
Приклад 1. Знайдіть квадратні корені 2i.
Рішення: Спочатку ми повинні записати комплексне число у тригонометричній формі.
Все комплексне число має вигляд z = a + bi. Отже, ми маємо:
Ми також знаємо, що:
Зі значень синуса та косинуса можна зробити висновок, що:
Таким чином, тригонометрична форма z = 2i має вигляд:
Тепер обчислимо квадратні корені z за допомогою формули Мойвра.
Оскільки нам потрібні квадратні корені z, ми отримаємо два різні корені z
Для k = 0 ми матимемо
Для k = 1 ми матимемо:
Або
Приклад 2. Отримати кубічні корені z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
Рішення: Оскільки комплексне число вже у тригонометричній формі, просто скористайтеся формулою Моавра. З твердження маємо, що ø = π та | z | = 1. Таким чином,
У нас буде три різних корені, z0, z1 та z2.
Для k = 0
Для k = 1
Або z1 = - 1, оскільки cos π = - 1 і sin π = 0.
Для k = 2
Марсело Рігонатто
Фахівець зі статистики та математичного моделювання
Шкільна команда Бразилії
Комплексні числа - Математика - Бразильська школа
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm