Визначники: як обчислити, властивості, приклади

О детермінанта з штаб наразі має кілька додатків. Ми використовуємо визначник, щоб перевірити, чи вирівняні три точки в декартовій площині, до розрахувати площі трикутників для вирішення лінійних систем, серед інших застосувань в математика. Вивчення детермінант не обмежуючись математикою, є деякі додатки у фізиці, такі як дослідження електричних полів.

Ми обчислюємо детермінанти лише квадратних матриць, тобто матриці, в яких кількість стовпців і кількість рядків рівні. Для обчислення визначника матриці нам потрібно проаналізувати її порядок, тобто якщо він дорівнює 1х1, 2x2, 3x3 і так далі, чим вище ваше замовлення, тим важче буде знайти детермінанта. Однак існують важливі методи виконання вправи, такі як Правління Саруса, що використовується для обчислення визначників матриць 3x3.

Читайте також: Процес розв’язання m x n лінійної системи

Обчислення визначника матриці порядку 2.

Визначник матриці порядку 1

Масив відомий як порядок 1, коли він має точно рядок і стовпець. Коли це відбувається, матриця має

один елемент, a₁₁. У цьому випадку матричний визначник збігається з єдиним його членом.

A = (a₁₁)

det (A) = |₁₁ | =₁₁

Приклад:

A = [2]

det (A) = | 2 | = 2

Для того, щоб обчислити детермінанти матриць порядку 1, необхідно лише знати їх єдиний елемент.

Визначники порядку 2 матриць

Матриця 2х2 квадратна, також відома як матриця порядку 2, має чотири елементи, в цьому випадку, щоб обчислити визначник, необхідно знати, що таке головна діагональ та вторинна діагональ.

Для обчислення визначника матриці порядку 2 ми обчислюєморізниця введіть добуток умов головна діагональ та умови вторинна діагональ. Використовуючи побудований нами алгебраїчний приклад, det (A) буде таким:

Приклад:

Визначник матриці порядку 3

Матриця порядку трьох дорівнює більш трудомісткий щоб отримати визначник, ніж попередні, насправді, чим вищий порядок матриці, тим складнішою буде ця робота. В це треба використовувати те, що ми знаємо як Правління Саруса.

• Правило Сарруса

Правило Сарруса - це метод обчислення детермінант матриць порядку 3. Необхідно виконати кілька кроків, будучи першим продублюйте перші два стовпці в кінці матриці, як показано в наступному прикладі.

Ходімо зараз помножте доданки кожної з трьох діагоналей які знаходяться в тому ж напрямку, що і головна діагональ.

Ми проведемо подібний процес із вторинною діагоналлю та двома іншими діагоналями, які знаходяться в тому ж напрямку, що і вона.

зауважте, що доданки вторинної діагоналі завжди супроводжуються знаком мінус., тобто ми завжди будемо міняти знак результату множення доданків вторинної діагоналі.

Приклад:

Дивіться також: Теорема Біне - практичний процес множення матриць

Визначальні властивості

• 1-а властивість

Якщо один із рядків матриці дорівнює 0, то її визначник буде дорівнює 0.

Приклад:

• 2-а властивість

Нехай A і B - дві матриці, det (A · B) = det (A) · det (B).

Приклад:

Обчислюючи окремі детермінанти, ми маємо:

det (A) = 2 · (-6) - 5 · 3
det (A) = -12-15 = -27

det (B) = 4 · 1 - 2 · (-2)
det (B) = 4 + 4 = +8

Отже det (A) · det (B) = -27 · 8 = -216

Тепер обчислимо det (A · B)

• 3-а властивість

Нехай A - матриця, а A - нова матриця, побудована шляхом обміну рядками матриці A, тоді det (A ’) = -det (A), або тобто, коли змінюється положення рядків матриці, її визначник матиме те саме значення, але зі знаком обмінялися.

Приклад:

• 4 властивість

рівні лінії або пропорційний зробіть матричний детермінант рівним 0.

Приклад:

Зверніть увагу, що в матриці A доданки в другому рядку вдвічі перевищують терміни в першому рядку.

Також доступ:Застосування матриць на вступних іспитах

Вправи вирішені

Питання 1 - (Vunesp) Розглядаючи матриці A і B, визначимо значення det (A · B):

до 1

б) 6

в) 10

г) 12

д) 14

Дозвіл

Альтернатива Е

Ми знаємо, що det (A · B) = det (A) · det (B):

det (A) = 1 · 4 - 2 · 3 = 4 - 6 = -2
det (B) = -1 · 1 - 3 · 2 = -1 - 6 = -7

Отже, ми маємо:
det (A · B) = det (A) · det (B)
det (A · B) = -2 (-7) = 14

Питання 2 - Враховуючи матрицю A, яким має бути значення x, щоб det (A) дорівнював 0?

а) 1/2

б) 1/3

в) 1/9

г) 3
д) 9

Дозвіл

Альтернатива B

Обчислюючи визначник A, ми маємо:

Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики

Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm