Коли слово «алгебраїчне» використовується для числового виразу, це означає, що це вираз має принаймні одну невідому, тобто літеру або символ, що використовується для позначення числа невідомо. Таким чином, a алгебраїчна дрібв свою чергу, є не що інше, як частка, яка має принаймні одну невідому в знаменник (дно дробу). Тому спрощення алгебраїчних дробів випливає з тієї ж основи, що і спрощення числових дробів.
Прикладами алгебраїчних дробів є:
1)
2x
4р
2)
4р2 - 9x2
2y + 3x
Спрощення алгебраїчних дробів
Спрощення алгебраїчного дробу відбувається за тією ж основою, що і спрощення числового дробу. Потрібно ділити чисельник і знаменник на одне і те ж число. Зверніть увагу на приклад спрощення дробу:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
Дріб вище був спрощений на 2, потім на 3, а потім на 5. Для підтримки процедури спрощення алгебраїчних дробів, ми перепишемо першу дріб вище у розкладеному вигляді:
30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
Зверніть увагу, що числа 2, 3 і 5 повторюються в чисельнику та знаменнику, і що це були абсолютно однакові числа, якими спрощено дроб. В контексті
алгебраїчні дроби, процедура подібна, як і є необхідний для множення багаточленів, присутніх у чисельнику та знаменнику. Після цього ми повинні оцінити, чи можливо спростити деякі з них.Приклади
1) Спростіть такий алгебраїчний дріб:
4x2р3
16xy6
Розрахуйте на множники кожну з невідомих і чисел, присутніх у частці:
4x2р3
16xy6
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
Тепер виконайте якомога більше поділів, як це було раніше для числового дробу: Числа, які з’являються як у чисельнику, так і в знаменнику, зникають, тобто вони є «вирізати». Можна також написати, що результат кожного з цих спрощень дорівнює 1. Дивитися:
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
х
2 · 2 · y · y · y
х
4р3
2) Спростіть такий алгебраїчний дріб:
4р2 - 9x2
2y + 3x
Зауважте, що числівник цього алгебраїчна дріб потрапляє в один із випадків помітних продуктів, тобто два квадратних різниці. Щоб врахувати це, просто перепишіть його у факторній формі. Після цього можна «вирізати» терміни, які відображаються як у знаменнику, так і в чисельнику, як у попередньому прикладі. Дивитися:
4р2 - 9x2
2y + 3x
= (2y + 3x) (2y - 3x)
2y + 3x
= 1 · (2y - 3x)
= 2y + 3x
3) Спростіть такий алгебраїчний дріб:
2(y2 - 16x2)
ay + 4ax
Як було зроблено раніше, врахуйте многочлени, присутні в чисельнику та знаменнику. Після цього виконайте можливі поділи.
2(y2 - 16x2)
ay + 4ax
= ··(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
Зверніть увагу, що чисельник враховано за допомогою два квадратних різниці а знаменник враховувався через загальний коефіцієнт. Крім того, термін a2 можна записати як добуток a · a. Нарешті, виконайте якомога більше поділів. А саме, a через a та (y + 4x) через (y + 4x):
··(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
= 1 · 1 · (y - 4x)
= y - 4x
Випадки розкладання на множники мають першорядне значення для спрощення алгебраїчних дробів. Нижче перелічені найважливіші випадки та деякі сторінки, де їх можна знайти більш докладно.
Розкладання на множники алгебраїчних виразів
Поліном можна записати у розкладеному на множники вигляді, якщо його можна виразити в одній із чотирьох наведених нижче форм. Представлені результати - це їх факторизована форма або приклади того, як їх врахувати:
1 - Спільний фактор
Якщо всі доданки многочлена мають невідоме або якесь спільне число, можна їх довести. Наприклад, у поліномі 4x2 + 2x ми можемо поставити 2x як доказ. Результатом буде:
4x2 + 2x = 2x (2x + 1)
Зверніть увагу, що при виконанні множення, зазначеного на другому елементі (права частина рівності), результат буде саме перший член (ліва сторона рівності), завдяки розподільній властивості множення.
2 - Групування
З огляду на попередній випадок, поліном, який має чотири доданки, можна розкласти на множники шляхом групування, об’єднання загальні терміни два на два, а згодом знову враховуються, якщо результати залишають це можливість. Наприклад, 2x + bx + 2y + на поліном можна розкласти наступним чином:
2x + bx + 2y + by
x (2 + b) + y (2 + b)
Зверніть увагу, що (2 + b) повторюється в обох нових термінах. Отже, ми можемо це довести:
x (2 + b) + y (2 + b)
(2 + b) (x + y)
3 - Ідеальний квадратний тричлен
Всякий раз, коли поліном є ідеальним квадратним тричленом, його записують еквівалентно одному з наступних трьох виразів, розташованих ліворуч і червоним кольором.
х2 + 2х + а2 = (x + a) (x + a)
х2 - 2x + a2 = (х - а) (х - а)
х2 - а2 = (x + a) (x - a)
Права сторона - це множник з множника, який може бути використаний для спрощення алгебраїчного дробу.
4 - Сума або різниця двох кубів
Всякий раз, коли багаточлен знаходиться в наступній фігурі або може бути записаний до нього, це буде сума двох кубів.
х3 + 3x2при + 3x2 +3 = (x + a)3
х3 - 3x2при + 3x2 - а3 = (х - а)3
Знову ж таки, ліва сторона червоним кольором - це поліном, який можна розкласти на множники та переписати, як вирази праворуч.
Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm