В алгебраїчні дроби - це дробові алгебраїчні вирази, які мають принаймні один невідомий у знаменнику. Часто існують фактори, які фігурують як у чисельнику, так і в знаменнику цих дробів, залишаючи можливість їх спрощення. Багато ігнорують те, що існують деякі правила, які вивчалися з початку початкової школи, і які керують цим спрощенням. Тому будь-який спрощення хто порушує ці правила, має великий потенціал помилятися. Тому ми перелічимо нижче три найпоширеніші помилки у спрощенні алгебраїчних дробів та правильний спосіб виконання цих процедур.
Перш ніж продовжувати, ми рекомендуємо прочитати статтю Спрощення алгебраїчного дробу для тих, хто все ще сумнівається в цьому питанні.
1 - вирізати елементів дорівнює за чисельником та знаменником
Це найпоширеніша помилка. На початку навчання учні хочуть «вирізати» всі ті самі елементи в чисельнику та знаменнику a алгебраїчна дріб. Однак вони не є рівними елементами, які потрібно "вирізати", але, так, фактори дорівнює.
Правило таке: Якщо є рівні фактори
в чисельнику та знаменнику ці фактори можна вирізати. Пам'ятайте: поділ між ними дадуть 1, що не впливає на поділ або множення. Оскільки ці фактори просто зникають, цей процес став відомим як “різання”. Також пам’ятайте, що числа у множенні називаються множниками.Елементи, що додаються або віднімаються ти не можеш бути вирізаним, оскільки його поділ не призводить до 1. Таким чином, беручи приклад нижче, який включає суму, ми побачимо правильний і неправильний спосіб виконання спрощення.
Приклад: Спростіть наступний алгебраїчний дріб.
4x + 4y
x + y
Невірно:
4х + 4р = 4 + 4 = 8
х + р
Зверніть увагу, що відсічені невідомі числа (виділені червоним кольором) не є чинниками множення, а скоріше частинами додавання. Тому виріз, зроблений вище, неправильний.
Праворуч:
4x + 4y
x + y
створення процесу множник на множники за загальним фактором ми матимемо:
4(х + у) = 4
x + y
У чисельнику алгебраїчного дробу ми знаходимо множення, де множники дорівнюють 4 і x + y. У знаменнику ми знаходимо лише x + y. Зверніть увагу, що x + y - це коефіцієнт, оскільки він не додається і не віднімається жодним іншим числом чи невідомими. Для кращого огляду просто поставте дужки:
4(х + у) = 4
(х + у)
Якби замість x + y у знаменнику було лише число 4, це також можна було б спростити, вирізавши лише число 4.
А тепер подивіться на випадок, коли цього не могло бути спрощення:
4(х + у)
x + y + k
* k - будь-яке число, невідоме або одночленне.
2 - Факторинг ідеального квадратного тричлена з використанням загального факторного процесу в доказах
Майже коли багаточлен в алгебраїчна частка, це повинно враховуватися. Після цього слід порівняти фактори, присутні в чисельнику та знаменнику, для пошуку тих, які можуть бути спрощений (інше слово для “вирізати”).
Що відбувається, так це те, що студенти стикаються з ідеальний трикутник квадрата і забудьте, що це результат а чудовий продукт, просто повернувшись до цього продукту для виконання факторизація. Отже, робиться спроба навести загальні фактори на підтвердження.
Люди, які роблять подібні спроби, часто роблять вищевказану помилку.
Зверніть увагу на наступний приклад, який також показує правильну форму та найчастішу неправильну форму розв’язання.
Приклад: Спростіть наступний алгебраїчний дріб.
4x2 + 8xy + 4y2
x + y
Невірно:
4x2 + 8xy + 4y2
x + y
4 (х2 + 2xy + y2)
x + y
або
4 (x + 2y) + 4y2
x + y
Зауважте, що спростити навіть неможливо саме тому, що процес факторингу не був проведений належним чином.
Праворуч:
4x2 + 8xy + 4y2
x + y
(2x + 2y)2
x + y
(2x + 2y) (2x + 2р)
x + y
На цьому кроці зауважте, що число 2 є загальним для всіх елементів двох множників. У цій ситуації необхідно здійснювати факторизацію, спільну для двох факторів. В результаті ми отримаємо:
2 · (x + y) · 2 · (x + у)
x + y
2 · 2 · (x + y) (x + у)
x + y
4 · (x + y) (x + у)
x + y
Так, так, ми можемо вирізати коефіцієнт, який повторюється і в чисельнику, і в знаменнику.
4 · (x + y)(х + у)= 4 · (x + y)
x + y
3 - Плутайте чудові продукти
Зверніть увагу на перелік помітних продуктів, нижче яких наведено квадрати або добуток суми на різницю.
(х + у)2 = х2 + 2xy + y2
(х - у)2 = х2 –2xy + y2
(x + y) (x - y) = x2 - y2
Кожен раз, коли поліном приймає форму ідеального квадратного тричлена або двох квадратних різниць - знайдених у права частина рівності вище -, можна замінити їх чудовим продуктом, який їх породив (лівий бік відповідні).
В спрощення алгебраїчних дробів, забування того, що чудовий добуток відповідає ідеальному квадратному тричлена, є дуже повторюваною помилкою - особливо, коли мова йде про два квадратних різниці. Коли вона з’являється, прийнято уявляти, що вона вже врахована з факторизму або що показник 2 можна поставити «в докази» (і, звичайно, це неможливо зробити).
Зверніть увагу на наступний приклад, що включає різницю у двох квадратах:
Приклад: Спростіть такий алгебраїчний дріб.
4x2 - 4р2
x + y
Правильно:
Пам’ятайте, що чисельник - це різниця у два квадрати, і його можна замінити на:
(2x - 2y) (2x + 2y)
x + y
Спрощення буде здійснено шляхом додавання двох доказів ще раз за двома факторами.
2 · (х - у) · 2 · (x + y)
x + y
2 · 2 · (x - y) · (X + y)
x + y
4 · (х - у)·(х + у) = 4 · (х - у)
x + y
Зверніть увагу, що в різниці двох квадратів в одному з факторів є додавання, а в іншому - віднімання.
Неправильно:
Використовуйте один із двох інших відомих випадків товару:
4x2 - 4р2
x + y
(2x + 2y) (2x + 2y)
x + y
Або "докажіть показник степеня 2":
4x2 - 4р2
x + y
4 (х - у)2
x + y
Щоб уникнути цих двох останніх помилок, пропонуємо прочитати текст сума квадрат, Спільний фактор доказів і Потенціювання.
Гарних навчань!
Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tres-erros-comuns-na-simplificacao-fracao-algebrica.htm