Гіпербола. визначення гіперболи

Що таке гіпербола?
Визначення: Нехай F1 і F2 - дві точки на площині і нехай 2c - відстань між ними, гіпербола - це множина точок на площині, різниця (в модулі) відстаней до F1 та F2 є константою 2a (0 <2a <2c).
Елементи гіперболи:

F1 і F2 → - вогнища гіперболи
→ є центром гіперболи
2c → фокусна відстань
2-я → вимірювання реальної або поперечної осі
2b → уявне вимірювання осі
c / a → ексцентриситет
Існує взаємозв'язок між a, b і c → c² =² + b²

Знижене рівняння гіперболи
1-й випадок: гіпербола з фокусами на осі х.

Зрозуміло, що в цьому випадку фокуси матимуть координати F1 (-c, 0) та F2 (c, 0).
Таким чином, приведене рівняння еліпса з центром у початку координат декартової площини та фокусом на осі х буде:

2-й випадок: гіпербола з вогнищами на осі y.

У цьому випадку фокуси матимуть координати F1 (0, -c) та F2 (0, c).
Таким чином, скорочене рівняння еліпса з центром у початку координат декартової площини та фокусом на осі y матиме вигляд:

Приклад 1. Знайдіть зменшене рівняння гіперболи з реальною віссю 6, фокусами F1 (-5, 0) та F2 (5, 0).

Рішення: ми повинні
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) та F2 (5, 0) → c = 5
З чудових стосунків ми отримуємо:
ç² =² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Таким чином, зменшене рівняння буде мати формулу:

Приклад 2. Знайдіть зменшене рівняння гіперболи, яке має два фокуси з координатами F2 (0, 10) та уявною віссю розміром 12.
Рішення: ми повинні
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Використовуючи чудові стосунки, ми отримуємо:
10² =² + 6² → 100 = а² + 36 → а² = 100 - 36 → а² = 64 → a = 8.
Таким чином, зменшене рівняння гіперболи буде отримано за формулою:

Приклад 3. Визначте фокусну відстань гіперболи за допомогою рівняння
Рішення: Оскільки рівняння гіперболи має тип  Ми мусимо
² = 16 і b² =9
З чудових стосунків, які ми отримуємо
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Фокусна відстань дається 2c. Таким чином,
2c = 2 * 5 = 10
Отже, фокусна відстань дорівнює 10.

Марсело Рігонатто
Фахівець зі статистики та математичного моделювання
Шкільна команда Бразилії

Аналітична геометрія - Математика - Бразильська школа