Тангенс: що це таке, як розрахувати, приклади

А дотична (скорочено tg або tan) є a тригонометрична функція. Щоб визначити тангенс кута, ми можемо використовувати різні стратегії: обчислити відношення між синусом і косинусом кута, якщо вони відомі; використовувати таблицю дотичних або калькулятор; обчислити відношення між протилежним катетом і прилеглим, якщо кут, про який йде мова, серед іншого є внутрішнім (гострим) прямокутного трикутника.

Читайте також: Для чого використовується тригонометричне коло?

підсумок по дотичній

  • Тангенс — тригонометрична функція.

  • Тангенс внутрішнього кута прямокутного трикутника — це відношення протилежної сторони до прилеглої сторони.

  • Тангенс будь-якого кута - це відношення синуса і косинуса цього кута.

  • Функція \(f (x)=tg\ x\) визначається для кутів x виражені в радіанах, так що cos \(cos\ x≠0\).

  • На графіку функції тангенса показані вертикальні асимптоти для значень, де \(x= \frac{π}2+kπ\), с k цілий, як \(x=-\frac{π}2\).

  • Закон дотичних — це вираз, який пов’язує в будь-якому трикутнику дотичні до двох кутів і сторони, протилежні цим кутам.

Тангенс кута

Якщо α дорівнює одиниці кут внутрішній a прямокутний трикутник, тангенс α є відношенням довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:

Ілюстрація прямокутного трикутника поруч із формулою тангенса для обчислення тангенса кута.

Для будь-якого кута α тангенс є відношенням між sin α та косинусом α, де \(cos\ α≠0\):

\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)

Слід зазначити, що якщо α є кутом у 1-му чи 3-му квадранті, тангенс матиме додатний знак; але якщо α є кутом 2-го або 4-го квадранта, тангенс матиме від’ємний знак. Це співвідношення є прямим результатом правила знаків між знаками синуса та косинуса для кожного α.

Важливо: Зверніть увагу, що тангенс не існує для значень α, де \(cos\ α=0\). Це відбувається для кутів 90°, 270°, 450°, 630° тощо. Щоб представити ці кути в загальному вигляді, ми використовуємо позначення в радіанах: \(\frac{ π}2+kπ\), с k ціле.

Тангенс помітних кутів

Використовуючи вираз \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), ми можемо знайти дотичні до чудові ракурси, які є кутами 30°, 45° і 60°:

\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)

\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)

\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)

Цікаво: На додаток до них ми можемо проаналізувати значення тангенса для кутів 0° і 90°, які також широко використовуються. Оскільки sin 0° = 0, ми приходимо до висновку, що tan 0° = 0. Для кута 90°, оскільки cos90° = 0, дотичної не існує.

Як обчислити тангенс?

Для обчислення тангенса використовується формула tg α=sin αcos α, яка використовується для обчислення тангенса будь-якого кута. Давайте розглянемо кілька прикладів нижче.

  • Приклад 1

Знайдіть тангенс кута α у прямокутному трикутнику.

Ілюстрація прямокутного трикутника для обчислення тангенса.

роздільна здатність:

Стосовно кута α, сторона міри 6 є протилежною стороною, а сторона міри 8 є суміжною стороною. Подобається це:

\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)

  • Приклад 2

Знаючи це \(sin\ 35°≈0,573\) і cos\(35°≈0,819\), знайдіть наближене значення дотичної 35°.

роздільна здатність:

Оскільки тангенс кута є відношенням між синусом і косинусом цього кута, ми маємо:

\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)

\(tg\ 35°≈0,700\)

дотична функція

Функція fx=tg x визначена для кутів x виражається в радіанах, так що \(cos\ x≠0\). Це означає, що область визначення функції дотичної виражається:

\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)

Крім того, всі дійсні числа є образом функції тангенса.

→ Графік функції тангенса

 Графік функції тангенса.

Зверніть увагу, що графік функції тангенса має вертикальні асимптоти для значень де \(x= \frac{π}2+kπ\), с k цілий, як \( x=-\frac{π}2\). Для цих значень x, дотична не визначена (тобто дотичної не існує).

Дивіться також: Що таке домен, діапазон і зображення?

закон дотичних

Закон дотичних є a вираз, що асоціює, в а трикутник дотичні до двох кутів і сторони, протилежні цим кутам. Наприклад, розглянемо кути α і β трикутника ABC нижче. Зверніть увагу, що сторона CB = a протилежна куту α, а сторона AC = b — проти кута β.

Ілюстрація будь-якого трикутника, яка вказує на те, що визначає закон дотичних.

Закон дотичної стверджує, що:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)

тригонометричні співвідношення

До тригонометричні співвідношення є тригонометричними функціями, виконаними над прямокутним трикутником. Ми інтерпретуємо ці співвідношення як співвідношення між сторонами та кутами цього типу трикутника.

Зображення формул тригонометричних співвідношень, тригонометричних функцій, відпрацьованих у прямокутному трикутнику.

Розв'язані вправи на дотичну

питання 1

Нехай θ — такий кут другого квадранта, що sin\(sin\ θ≈0,978\), тому tgθ приблизно дорівнює:

А) -4688

B) 4688

В) 0,2086

Г) -0,2086

E) 1

роздільна здатність

Альтернатива А

якщо \(sin\ θ≈0,978\), то, використовуючи фундаментальну тотожність тригонометрії:

\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)

\(0,978^2+cos^2 θ=1\)

\(cos^2 θ=1-0,956484\)

\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)

Оскільки θ є кутом другого квадранта, то cosθ є від’ємним, тому:

\(cos\ θ≈- 0,2086\)

незабаром:

\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)

питання 2

Розглянемо прямокутний трикутник ABC з катетами AB = 3 см і AC = 4 см. Тангенс кута B дорівнює:

а) \(\frac{3}4\)

Б) \(\frac{3}5\)

W) \(\frac{4}3\)

г) \(\frac{4}5\)

І) \(\frac{5}3\)

роздільна здатність:

Альтернатива C

За твердженням катет протилежний куту \(\капелюх{B}\) — АС розміром 4 см і катет, прилеглий до кута \(\капелюх{B}\) є АВ з міркою 3 см. Подобається це:

\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)

Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики

Кінець Португальської імперії в Африці

А Португальська колонізація в Африці вписується в контекст великих мореплавств, що відбулися в 15...

read more

УВАГА! Едикт Encceja 2023 вийшов сьогодні!

О Encceja, створений у 2002 році, має на меті оцінити компетенції, навички та знання молоді та до...

read more
Подивіться, чи можете ви допомогти цьому чоловікові знайти його загубленого собаку

Подивіться, чи можете ви допомогти цьому чоловікові знайти його загубленого собаку

Тести на оптичну ілюзію служать не тільки для перевірки вашого IQ, але й для стимулювання вашої з...

read more