А дотична (скорочено tg або tan) є a тригонометрична функція. Щоб визначити тангенс кута, ми можемо використовувати різні стратегії: обчислити відношення між синусом і косинусом кута, якщо вони відомі; використовувати таблицю дотичних або калькулятор; обчислити відношення між протилежним катетом і прилеглим, якщо кут, про який йде мова, серед іншого є внутрішнім (гострим) прямокутного трикутника.
Читайте також: Для чого використовується тригонометричне коло?
підсумок по дотичній
Тангенс — тригонометрична функція.
Тангенс внутрішнього кута прямокутного трикутника — це відношення протилежної сторони до прилеглої сторони.
Тангенс будь-якого кута - це відношення синуса і косинуса цього кута.
Функція \(f (x)=tg\ x\) визначається для кутів x виражені в радіанах, так що cos \(cos\ x≠0\).
На графіку функції тангенса показані вертикальні асимптоти для значень, де \(x= \frac{π}2+kπ\), с k цілий, як \(x=-\frac{π}2\).
Закон дотичних — це вираз, який пов’язує в будь-якому трикутнику дотичні до двох кутів і сторони, протилежні цим кутам.
Тангенс кута
Якщо α дорівнює одиниці кут внутрішній a прямокутний трикутник, тангенс α є відношенням довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:
Для будь-якого кута α тангенс є відношенням між sin α та косинусом α, де \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Слід зазначити, що якщо α є кутом у 1-му чи 3-му квадранті, тангенс матиме додатний знак; але якщо α є кутом 2-го або 4-го квадранта, тангенс матиме від’ємний знак. Це співвідношення є прямим результатом правила знаків між знаками синуса та косинуса для кожного α.
Важливо: Зверніть увагу, що тангенс не існує для значень α, де \(cos\ α=0\). Це відбувається для кутів 90°, 270°, 450°, 630° тощо. Щоб представити ці кути в загальному вигляді, ми використовуємо позначення в радіанах: \(\frac{ π}2+kπ\), с k ціле.
Тангенс помітних кутів
Використовуючи вираз \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), ми можемо знайти дотичні до чудові ракурси, які є кутами 30°, 45° і 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Цікаво: На додаток до них ми можемо проаналізувати значення тангенса для кутів 0° і 90°, які також широко використовуються. Оскільки sin 0° = 0, ми приходимо до висновку, що tan 0° = 0. Для кута 90°, оскільки cos90° = 0, дотичної не існує.
Як обчислити тангенс?
Для обчислення тангенса використовується формула tg α=sin αcos α, яка використовується для обчислення тангенса будь-якого кута. Давайте розглянемо кілька прикладів нижче.
Приклад 1
Знайдіть тангенс кута α у прямокутному трикутнику.
роздільна здатність:
Стосовно кута α, сторона міри 6 є протилежною стороною, а сторона міри 8 є суміжною стороною. Подобається це:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Приклад 2
Знаючи це \(sin\ 35°≈0,573\) і cos\(35°≈0,819\), знайдіть наближене значення дотичної 35°.
роздільна здатність:
Оскільки тангенс кута є відношенням між синусом і косинусом цього кута, ми маємо:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
дотична функція
Функція fx=tg x визначена для кутів x виражається в радіанах, так що \(cos\ x≠0\). Це означає, що область визначення функції дотичної виражається:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Крім того, всі дійсні числа є образом функції тангенса.
→ Графік функції тангенса
Зверніть увагу, що графік функції тангенса має вертикальні асимптоти для значень де \(x= \frac{π}2+kπ\), с k цілий, як \( x=-\frac{π}2\). Для цих значень x, дотична не визначена (тобто дотичної не існує).
Дивіться також: Що таке домен, діапазон і зображення?
закон дотичних
Закон дотичних є a вираз, що асоціює, в а трикутник дотичні до двох кутів і сторони, протилежні цим кутам. Наприклад, розглянемо кути α і β трикутника ABC нижче. Зверніть увагу, що сторона CB = a протилежна куту α, а сторона AC = b — проти кута β.
Закон дотичної стверджує, що:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
тригонометричні співвідношення
До тригонометричні співвідношення є тригонометричними функціями, виконаними над прямокутним трикутником. Ми інтерпретуємо ці співвідношення як співвідношення між сторонами та кутами цього типу трикутника.
Розв'язані вправи на дотичну
питання 1
Нехай θ — такий кут другого квадранта, що sin\(sin\ θ≈0,978\), тому tgθ приблизно дорівнює:
А) -4688
B) 4688
В) 0,2086
Г) -0,2086
E) 1
роздільна здатність
Альтернатива А
якщо \(sin\ θ≈0,978\), то, використовуючи фундаментальну тотожність тригонометрії:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Оскільки θ є кутом другого квадранта, то cosθ є від’ємним, тому:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
незабаром:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
питання 2
Розглянемо прямокутний трикутник ABC з катетами AB = 3 см і AC = 4 см. Тангенс кута B дорівнює:
а) \(\frac{3}4\)
Б) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
г) \(\frac{4}5\)
І) \(\frac{5}3\)
роздільна здатність:
Альтернатива C
За твердженням катет протилежний куту \(\капелюх{B}\) — АС розміром 4 см і катет, прилеглий до кута \(\капелюх{B}\) є АВ з міркою 3 см. Подобається це:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики
