Симетрична матриця: що це таке, приклади, властивості

protection click fraud

симетрична матриця є штаб в якому кожен елемент \(a_{ij}\) дорівнює елементу \(a_{ji}\) для всіх значень i і j. Отже, кожна симетрична матриця дорівнює її транспонуванню. Варто також згадати, що кожна симетрична матриця є квадратною і що головна діагональ діє як вісь симетрії.

Читайте також:Матричне додавання і віднімання — як обчислити?

Теми цієї статті

1 - Резюме по симетричній матриці
2 - Що таке симетрична матриця?
3 - Які властивості симетричної матриці?
4 - Які відмінності між симетричною матрицею та антисиметричною матрицею?
5 - Розв'язані вправи на симетричну матрицю

Реферат про симетричну матрицю

У симетричній матриці \(a_{ij}=a_{ji}\) для всіх i і j.
Кожна симетрична матриця є квадратною.
Кожна симетрична матриця дорівнює її транспонуванню.
Елементи симетричної матриці симетричні відносно головної діагоналі.
Поки в симетричній матриці \(a_{ij}=a_{ji}\) для всіх i і j; в антисиметричній матриці, \(a_{ij}=-a_{ji}\) для всіх i і j.

Що таке симетрична матриця?

Симетричною матрицею є квадратна матриця, де \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) для кожного i і кожного j

instagram story viewer

. Це означає що \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)і так далі для всіх можливих значень i і j. Пам'ятайте, що можливі значення i відповідають рядкам матриці, а можливі значення j відповідають стовпцям матриці.

Приклади симетричних матриць

\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Приклади несиметричних матриць (розглянемо \(\mathbf{b≠g}\))

\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Важливо: Сказати, що матриця не є симетричною, означає це показати \(a_{ij}≠a_{ji}\) принаймні для деяких i та j (у чому ми можемо переконатися, порівнюючи попередні приклади). Це відрізняється від концепції антисиметричної матриці, яку ми побачимо пізніше.

Не зупиняйся зараз... Після розголосу буде більше ;)

Які властивості має симетрична матриця?

Кожна симетрична матриця є квадратною

Зверніть увагу, що визначення симетричної матриці базується на квадратних матрицях. Таким чином, кожна симетрична матриця має таку ж кількість рядків, як і кількість стовпців.

Кожна симетрична матриця дорівнює її транспонуванню

Якщо A є матрицею, її транспонований (\(A^T\)) визначається як матриця, рядки якої є стовпцями A, а стовпці – рядками A. Отже, якщо A є симетричною матрицею, ми маємо \(A=A^T\).

У симетричній матриці елементи «відбиваються» відносно головної діагоналі

як \(a_{ij}=a_{ji}\) у симетричній матриці елементи вище головної діагоналі є «відображеннями» елементів нижче діагоналі (або навпаки) по відношенню до діагоналі, так що головна діагональ діє як вісь симетрія.

Які відмінності між симетричною матрицею та антисиметричною матрицею?

Якщо A — симетрична матриця, то \(a_{ij}=a_{ji}\) для всіх i і всіх j, як ми вивчали. У випадку антисиметричної матриці ситуація інша. Якщо B — антисиметрична матриця, то \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) для кожного i і кожного j.

Зверніть увагу, що це призводить до \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), тобто, головні діагональні елементи дорівнюють нулю. Наслідком цього є те, що транспонування антисиметричної матриці дорівнює її протилежності, тобто якщо B є антисиметричною матрицею, то \(B^T=-B\).

Приклади антисиметричних матриць

\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Дивіться також: Одинична матриця — матриця, в якій основні діагональні елементи дорівнюють 1, а решта елементів дорівнюють 0

Розв'язати вправи на симетричну матрицю

питання 1

(Unicentro)

якщо матриця \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) є симетричним, тому значення xy дорівнює:

А) 6

B) 4

В) 2

Г) 1

Д) -6

роздільна здатність:

Альтернатива А

Якщо дана матриця симетрична, то елементи в симетричних положеннях рівні (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Тому ми повинні:

\(x = y - 1\)

\(x + 5 = 7\)

Заміна першого рівняння у другому робимо висновок, що \(y=3\), скоро:

\(x=2\) Це є \(xy=6\)

питання 2

(УФСМ) Знаючи, що матриця \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) дорівнює його транспонуванню, значенню \(2x+y\) é:

А) -23

Б) -11

В) -1

Г) 11

E) 23

роздільна здатність:

Альтернатива C

Оскільки задана матриця дорівнює її транспонуванню, то вона є симетричною матрицею. Таким чином, елементи в симетричних положеннях рівні (\(a_{ij}=a_{ji}\)), тобто:

\(x^2=36\)

\(4-y=-7\)

\(-30=5x\)

За першим рівнянням х=-6 або х=6. За третім рівнянням отримуємо правильну відповідь: х= -6. За другим рівнянням y=11.

незабаром:

\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)

Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики

Чи хотіли б ви посилатися на цей текст у шкільній чи навчальній роботі? Подивіться:

РІЗЗО, Марія Луїза Алвес. «Симетрична матриця»; Бразильська школа. Доступний у: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Перевірено 18 липня 2023 р.

Зрозумійте тут визначення та формалізацію матричної структури. Подивіться також, як працювати з його елементами та різними типами матриць.

Натисніть тут і дізнайтеся про одиничну матрицю, нейтральний елемент множення матриць. Також дізнайтеся, як створити цей особливий тип матриці.

Зрозумійте, що таке матриця транспонування. Знати властивості транспонованої матриці. Дізнайтеся, як знайти транспоновану матрицю даної матриці.

Дізнайтеся, що таке симетрія, і знайте, які її види. Дивіться також приклади та важливість цього явища.

Матриця, Тип матриць, Порядок матриць, Матриця рядків, Матриця стовпців, Нульова матриця, Матриця квадрат, діагональна матриця, одинична матриця, протилежна матриця, матриця, рівна матриця, рівність матриці.