А пропорція золотий або божественна пропорція - це рівність, пов'язана з уявленнями про гармонію, красу і досконалість. Евклід Олександрійський, грецький математик, який жив близько 300 р. до н. C., був одним із перших мислителів, який формалізував це поняття, яке досі інтригує дослідників з різних областей.
Причина такого інтересу полягає в тому, що золотий переріз можна приблизно спостерігати в природі, в тому числі в насінні та листі рослин і в організмі людини. Отже, золотий переріз є предметом вивчення різних професіоналів, таких як біологи, архітектори, художники та дизайнери.
Читайте також: Число пі — одна з найважливіших констант в математиці
Короткий зміст про золотий переріз
Золотий переріз - це співвідношення для \(a>b>0\) такий як
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
За цих умов причина TheБ називається золотим перетином.
Золотий переріз пов'язаний з уявленнями про баланс, чистоту та досконалість.
Грецька літера ϕ (читається: fi) позначає золоте число, яке є константою, отриманою із золотого перетину.
У послідовності Фібоначчі частки між кожним членом і його попередником наближаються до золотого числа.
Золотий прямокутник - це прямокутник, сторони якого знаходяться в золотому перерізі.
Що таке золотий перетин?
Розглянемо відрізок лінії, розділений на дві частини: більшу довжину The і найменший Б. усвідомити це a+b є мірою всього сегмента.
золотий перетин є рівність серед причин\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Це є \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), тобто
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
У цьому контексті ми говоримо так The Це є Б знаходяться в золотому перерізі.
Але для яких цінностей The Це є Б чи є у нас золотий перетин? Ось що ми побачимо далі.
Як розрахувати золоте число?
Причина \(\frac{a}b\)(або, так само, причина \(\frac{a+b}a\)) призводить до константи, яка називається золотим числом і позначається грецькою літерою ϕ. Таким чином, прийнято писати
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Щоб обчислити золоте число, розглянемо золотий перетин для b = 1. Таким чином, ми можемо легко знайти значення The і отримаємо ϕ від рівності \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Зверніть увагу, що ми можемо записати золоту пропорцію наступним чином, використовуючи властивість перехресного множення:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Підставляючи b = 1, маємо
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Застосування формули Бхаскари для цього квадратного рівняння ми приходимо до висновку, що позитивний розв’язок The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
як The є мірою відрізка, від’ємним розв’язком будемо ігнорувати.
Так як \(\frac{a}b=ϕ\), Точне значення золотого числа таке:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Обчислюючи приватне, отримуємо Приблизне значення золотого числа:
\(ϕ≈1,618033989\)
Дивіться також: Як вирішувати математичні операції з дробами?
Золотий переріз і послідовність Фібоначчі
А Послідовність Фібоначчі - це список чисел де кожен член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередників. Давайте розглянемо перші десять членів цієї послідовності:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Як обчислюємо приватне між кожним членом і його попередником у послідовності Фібоначчі, ми наближаємось до золотого числа ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Золотий перетин і золотий прямокутник
Один прямокутник де найдовша сторона The і менша сторона Б знаходяться в золотому перерізі це називається золотий прямокутник. Прикладом золотого прямокутника є прямокутник зі сторонами 1 см і \(\frac{1+\sqrt5}2\) см.
Дізнайтеся більше: Що таке прямо пропорційні величини?
Застосування золотого перетину
Зверніть увагу, що досі ми вивчали золотий перетин лише в абстрактних математичних контекстах. Далі ми побачимо кілька прикладів, але потрібно бути обережним: золотий перетин не представлено точно в жодному з цих випадків. Існує аналіз різних контекстів, у яких золоте число виглядає такприблизний.
Золотий перетин в архітектурі
Деякі дослідження стверджують, що оцінки кількості золота спостерігаються в певних співвідношеннях розмірів піраміди Хеопса в Єгипті та будівлі штаб-квартири ООН у Нью-Йорку.
Золотий перетин в організмі людини
Розміри людського тіла відрізняються від однієї людини до іншої, і не існує ідеального типу фігури. Однак, принаймні з часів Стародавньої Греції, точаться дебати про математично ідеальне тіло (і абсолютно недосяжне в реальності), вимірювання якого пов’язані із золотим перетином. У цьому теоретичному контексті, наприклад, відношення росту людини до відстані між пупком і землею було б золотим числом.
золотий перетин в мистецтві
Існують дослідження творів італійця Леонардо да Вінчі «Вітрувіанська людина» та «Мона Ліза», які припускають, що використання золотих прямокутників.
Золотий переріз в природі
Є дослідження, які вказують на a зв'язок між золотим перерізом і тим, як розподілено листя деяких рослин на стеблі. Таке розташування листків називається філотаксією.
Золотий переріз в дизайні
Золотий переріз також вивчається та використовується в області дизайну як a інструмент створення проекту.
Вирішені вправи на золотий перетин
питання 1
(Enem) Відрізок лінії ділиться на дві частини в золотому перетині, коли ціле до однієї з частин має таке ж співвідношення, як ця частина до іншої. Ця константа пропорційності зазвичай позначається грецькою літерою ϕ, а її значення визначається додатним розв’язком рівняння ϕ2 = ϕ+1.
Так само, як і влада \(ϕ^2\), вищі степені ϕ можна виразити у вигляді \(aϕ+b\), де a і b — натуральні числа, як показано в таблиці.
потенція \(ϕ^7\), записаний у формі aϕ+b (a і b — натуральні числа), є
а) 5ϕ+3
б) 7ϕ+2
в) 9ϕ+6
г) 11ϕ+7
д) 13ϕ+8
роздільна здатність
як \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Ми мусимо
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Застосовуючи дистрибутив,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
як \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E альтернатива.
питання 2
Оцініть кожне наведене нижче твердження про золоте число як T (Правда) або F (Неправда).
i. Золоте число ϕ є ірраціональним.
II. Частки між кожним членом і його попередником у послідовності Фібоначчі наближаються до значення ϕ.
III. 1,618 — це округлення до трьох знаків після коми золотого числа ϕ.
Правильна послідовність, зверху вниз
а) V-V-V
б) F-V-F
в) V-F-V
г) П-П-П
д) F-V-V
роздільна здатність
i. правда
II. правда
III. правда
Альтернатива А.
Джерела
ФРАНЦИСКО, С. В. від Л. Між захопленням і реальністю золотого перетину. Дисертація (професійний ступінь магістра з математики в національній мережі) – Інститут біологічних наук, літератури та точних наук, Університет Естадуал Пауліста Хуліо де Мескіта Фільо. Сан-Паулу, 2017 рік. Доступний у: http://hdl.handle.net/11449/148903.
ПРОДАЖ, Дж. від С. Золотий перетин присутній в природі. Виконання курсової роботи (ступінь з математики), Федеральний інститут освіти, науки і технологій Піауі. Піауї, 2022. Доступний в http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
