А пропорція золотий або божественна пропорція - це рівність, пов'язана з уявленнями про гармонію, красу і досконалість. Евклід Олександрійський, грецький математик, який жив близько 300 р. до н. C., був одним із перших мислителів, який формалізував це поняття, яке досі інтригує дослідників з різних областей.
Причина такого інтересу полягає в тому, що золотий переріз можна приблизно спостерігати в природі, в тому числі в насінні та листі рослин і в організмі людини. Отже, золотий переріз є предметом вивчення різних професіоналів, таких як біологи, архітектори, художники та дизайнери.
Читайте також: Число пі — одна з найважливіших констант в математиці
Теми цієї статті
- 1 - Короткий зміст золотого перетину
- 2 - Як розрахувати золоте число?
- 3 - Золотий переріз і послідовність Фібоначчі
- 4 - Золотий перетин і золотий прямокутник
-
5 - Застосування золотого перетину
- Золотий перетин в архітектурі
- Золотий перетин в організмі людини
- золотий перетин в мистецтві
- Золотий переріз в природі
- Золотий переріз в дизайні
- 6 - Розв'язані вправи на золотий перетин
Короткий зміст про золотий переріз
Золотий переріз - це співвідношення для \(a>b>0\) такий як
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
За цих умов причина TheБ називається золотим перетином.
Золотий переріз пов'язаний з уявленнями про баланс, чистоту та досконалість.
Грецька літера ϕ (читається: fi) позначає золоте число, яке є константою, отриманою із золотого перетину.
У послідовності Фібоначчі частки між кожним членом і його попередником наближаються до золотого числа.
Золотий прямокутник - це прямокутник, сторони якого знаходяться в золотому перерізі.
Що таке золотий перетин?
Розглянемо відрізок лінії, розділений на дві частини: більшу довжину The і найменший Б. усвідомити це a+b є мірою всього сегмента.
золотий перетин є рівність серед причин\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Це є \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), тобто
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
У цьому контексті ми говоримо так The Це є Б знаходяться в золотому перерізі.
Але для яких цінностей The Це є Б чи є у нас золотий перетин? Ось що ми побачимо далі.
Не зупиняйся зараз... Після розголосу буде більше ;)
Як розрахувати золоте число?
Причина \(\frac{a}b\)(або, так само, причина \(\frac{a+b}a\)) призводить до константи, яка називається золотим числом і позначається грецькою літерою ϕ. Таким чином, прийнято писати
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Щоб обчислити золоте число, розглянемо золотий перетин для b = 1. Таким чином, ми можемо легко знайти значення The і отримаємо ϕ від рівності \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Зверніть увагу, що ми можемо записати золоту пропорцію наступним чином, використовуючи властивість перехресного множення:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Підставляючи b = 1, маємо
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Застосування формули Бхаскари для цього квадратного рівняння ми приходимо до висновку, що позитивний розв’язок The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
як The є мірою відрізка, від’ємним розв’язком будемо ігнорувати.
Так як \(\frac{a}b=ϕ\), Точне значення золотого числа таке:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Обчислюючи приватне, отримуємо Приблизне значення золотого числа:
\(ϕ≈1,618033989\)
Дивіться також: Як вирішувати математичні операції з дробами?
Золотий переріз і послідовність Фібоначчі
А Послідовність Фібоначчі - це список чисел де кожен член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередників. Давайте розглянемо перші десять членів цієї послідовності:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Як обчислюємо приватне між кожним членом і його попередником у послідовності Фібоначчі, ми наближаємось до золотого числа ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Золотий перетин і золотий прямокутник
Один прямокутник де найдовша сторона The і менша сторона Б знаходяться в золотому перерізі це називається золотий прямокутник. Прикладом золотого прямокутника є прямокутник зі сторонами 1 см і \(\frac{1+\sqrt5}2\) см.
Дізнайтеся більше: Що таке прямо пропорційні величини?
Застосування золотого перетину
Зверніть увагу, що досі ми вивчали золотий перетин лише в абстрактних математичних контекстах. Далі ми побачимо кілька прикладів, але потрібно бути обережним: золотий перетин не представлено точно в жодному з цих випадків. Існує аналіз різних контекстів, у яких золоте число виглядає такприблизний.
Золотий перетин в архітектурі
Деякі дослідження стверджують, що оцінки кількості золота спостерігаються в певних співвідношеннях розмірів піраміди Хеопса в Єгипті та будівлі штаб-квартири ООН у Нью-Йорку.
Золотий перетин в організмі людини
Розміри людського тіла відрізняються від однієї людини до іншої, і не існує ідеального типу фігури. Однак, принаймні з часів Стародавньої Греції, точаться дебати про математично ідеальне тіло (і абсолютно недосяжне в реальності), вимірювання якого пов’язані із золотим перетином. У цьому теоретичному контексті, наприклад, відношення росту людини до відстані між пупком і землею було б золотим числом.
золотий перетин в мистецтві
Існують дослідження творів італійця Леонардо да Вінчі «Вітрувіанська людина» та «Мона Ліза», які припускають, що використання золотих прямокутників.
Золотий переріз в природі
Є дослідження, які вказують на a зв'язок між золотим перерізом і тим, як розподілено листя деяких рослин на стеблі. Таке розташування листків називається філотаксією.
Золотий переріз в дизайні
Золотий переріз також вивчається та використовується в області дизайну як a інструмент створення проекту.
Вирішені вправи на золотий перетин
питання 1
(Enem) Відрізок лінії ділиться на дві частини в золотому перетині, коли ціле до однієї з частин має таке ж співвідношення, як ця частина до іншої. Ця константа пропорційності зазвичай позначається грецькою літерою ϕ, а її значення визначається додатним розв’язком рівняння ϕ2 = ϕ+1.
Так само, як і влада \(ϕ^2\), вищі степені ϕ можна виразити у вигляді \(aϕ+b\), де a і b — натуральні числа, як показано в таблиці.
потенція \(ϕ^7\), записаний у формі aϕ+b (a і b — натуральні числа), є
а) 5ϕ+3
б) 7ϕ+2
в) 9ϕ+6
г) 11ϕ+7
д) 13ϕ+8
роздільна здатність
як \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Ми мусимо
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Застосовуючи дистрибутив,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
як \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E альтернатива.
питання 2
Оцініть кожне наведене нижче твердження про золоте число як T (Правда) або F (Неправда).
i. Золоте число ϕ є ірраціональним.
II. Частки між кожним членом і його попередником у послідовності Фібоначчі наближаються до значення ϕ.
III. 1,618 — це округлення до трьох знаків після коми золотого числа ϕ.
Правильна послідовність, зверху вниз
а) V-V-V
б) F-V-F
в) V-F-V
г) П-П-П
д) F-V-V
роздільна здатність
i. правда
II. правда
III. правда
Альтернатива А.
Джерела
ФРАНЦИСКО, С. В. від Л. Між захопленням і реальністю золотого перетину. Дисертація (професійний ступінь магістра з математики в національній мережі) – Інститут біологічних наук, літератури та точних наук, Університет Естадуал Пауліста Хуліо де Мескіта Фільо. Сан-Паулу, 2017 рік. Доступний у: http://hdl.handle.net/11449/148903.
ПРОДАЖ, Дж. від С. Золотий перетин присутній в природі. Виконання курсової роботи (ступінь з математики), Федеральний інститут освіти, науки і технологій Піауі. Піауї, 2022. Доступний в http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики
Зрозумійте, що це таке та як розрахувати середню швидкість і щільність населення.
Дізнайтеся, що це таке та як використовувати формулу Бхаскари для вирішення квадратних рівнянь!
Зрозуміти, що таке прямо пропорційні величини, і навчитися розв’язувати проблемні ситуації, пов’язані з таким типом зв’язку.
Дізнайтеся тут, як визначити, чи є дві величини чи числа обернено пропорційними. Ознайомтеся з прикладами та вправами до теми!
Дізнайтеся тут, що таке пропорція і як її обчислити. Перегляньте також його основні властивості та зрозумійте, що таке пропорційні величини.
Дивіться тут різні способи подання співвідношення, також дивіться визначення та деякі застосування пропорції. Навчіться застосовувати ці поняття.
Навчіться використовувати складене правило трьох для знаходження невідомих значень і задач із трьома або чотирма величинами.
Знайте правило трьох. Зрозуміти, що таке прямі та обернено пропорційні величини. Знайте різницю між простим правилом трьох і складеним правилом.
Числові послідовності: послідовність Фібоначчі.
