Стандартне відхилення: що це таке, як розрахувати, приклади

О стандартне відхилення є мірою дисперсії, як і дисперсія та коефіцієнт варіації. При визначенні стандартного відхилення ми можемо встановити діапазон навколо середнього арифметичного (ділення між сумою чисел у списку та кількістю доданих чисел), де зосереджена більшість даних. Чим більше значення стандартного відхилення, тим більше мінливість даних, тобто більше відхилення від середнього арифметичного.

Читайте також: Мода, середнє та медіана — основні міри центральних тенденцій

Підсумок стандартного відхилення

• Стандартне відхилення є мірою мінливості.
• Позначення стандартного відхилення — це мала грецька літера сигма (σ) або літера s.
• Стандартне відхилення використовується для перевірки мінливості даних навколо середнього.
• Стандартне відхилення визначає діапазон \(\ліворуч[\mu-\sigma,\mu+\sigma\праворуч]\), де знаходиться більшість даних.
• Щоб обчислити стандартне відхилення, ми повинні знайти квадратний корінь з дисперсії:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\ліворуч (x_i-\mu\справа)^2}{N}}\)

Що таке стандартне відхилення?

Стандартне відхилення дорівнює a міра дисперсії, прийнята в статистиці. Його використання пов'язане з інтерпретація дисперсії, що також є мірою дисперсії.

На практиці стандартне відхилення визначає інтервал із центром на середньому арифметичному, в якому зосереджено більшість даних. Таким чином, чим більше значення стандартного відхилення, тим більша нерегулярність даних (більше інформації неоднорідні), і чим менше значення стандартного відхилення, тим менша нерегулярність даних (більше інформації однорідний).

Як розрахувати стандартне відхилення?

Щоб обчислити стандартне відхилення набору даних, ми повинні знайти квадратний корінь з дисперсії. Отже, формула для розрахунку стандартного відхилення така

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\ліворуч (x_i-\mu\справа)^2}{N}}\)

• \(x_1,x_2,x_3,\lточки, x_N\) → задіяні дані.
• μ → середнє арифметичне даних.
• N → кількість даних.
• \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\ліворуч (x_3-\mu\справа)^2+...+\ліворуч (x_N-\mu\праворуч)^2 \)

Останній елемент, який відноситься до чисельника підкореного виразу, вказує суму квадратів різниці між кожною точкою даних і середнім арифметичним. Будь ласка, зверніть увагу, що одиницею вимірювання стандартного відхилення є та сама одиниця вимірювання, що й дані x₁,x₂,x₃,…,x_Немає.

Хоча написання цієї формули є дещо складним, її застосування є простішим і прямішим. Нижче наведено приклад того, як використовувати цей вираз для обчислення стандартного відхилення.

• приклад:

Протягом двох тижнів у місті фіксувалися такі температури:

Тиждень/День	неділя	друге	По-третє	Четверте	П'яте	П'ятниця	Субота
тиждень 1	29°C	30°C	31°C	31,5°C	28°C	28,5°C	29°C
тиждень 2	28,5°C	27°C	28°C	29°C	30°C	28°C	29°C

У якому з двох тижнів температура в цьому місті залишалася стабільнішою?

роздільна здатність:

Щоб проаналізувати регулярність температури, ми повинні порівняти стандартні відхилення температур, зареєстрованих у 1 і 2 тижні.

• Давайте спочатку подивимося на стандартне відхилення для тижня 1:

Зазначимо, що серед μ₁ Це є Немає₁ вони є

\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\приблизно 29,57\)

\(N_1=7 \) (7 днів на тиждень)

Крім того, нам потрібно обчислити квадрат різниці між кожною температурою та середньою температурою.

\(\ліворуч (29-29,57\праворуч)^2=0,3249\)

\(\ліворуч (30-29,57\праворуч)^2=0,1849\)

\(\ліворуч (31-29,57\праворуч)^2=2,0449\)

\(\ліворуч (31,5-29,57\праворуч)^2=3,7249\)

\(\ліворуч (28-29,57\праворуч)^2=2,4649\)

\(\лівий (28,5-29,57\правий)^2=1,1449\)

\(\ліворуч (29-29,57\праворуч)^2=0,3249\)

Додавши результати, ми маємо, що чисельник підкореного виразу у формулі стандартного відхилення дорівнює

\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)

Отже, стандартне відхилення першого тижня

\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \приблизно 1,208\ °C\)

Примітка. Цей результат означає, що більшість температур першого тижня знаходяться в інтервалі [28,36 °C, 30,77 °C], тобто інтервалі \(\ліворуч[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\праворуч]\).

• Тепер давайте подивимося на стандартне відхилення тижня 2:

Дотримуючись тих самих міркувань, ми маємо

\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)

\(N_2=7\)

\(\лівий (28,5-28,5\правий)^2=0\)

\(\ліворуч (27-28,5\праворуч)^2=2,25\)

\(\ліворуч (28-28,5\праворуч)^2=0,25\)

\(\лівий (29-28,5\правий)^2=0,25\)

\(\ліворуч (30-28,5\праворуч)^2=2,25\)

\(\ліворуч (28-28,5\праворуч)^2=0,25\)

\(\лівий (29-28,5\правий)^2=0,25\)

\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)

Отже, стандартне відхилення 2-го тижня

\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \приблизно 0,89\ °C\)

Цей результат означає, що більшість температур 2-го тижня знаходяться в діапазоні \(\ліворуч[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\праворуч]\), тобто діапазон \(\ліворуч[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\праворуч]\).

усвідомити це \(\sigma_2, тобто стандартне відхилення тижня 2 менше, ніж стандартне відхилення тижня 1. Таким чином, тиждень 2 показав більш регулярні температури, ніж тиждень 1.

Які бувають типи стандартного відхилення?

Типи стандартного відхилення пов’язані з типом організації даних. У попередньому прикладі ми працювали зі стандартним відхиленням незгрупованих даних. Щоб обчислити стандартне відхилення набору інакше організованих даних (наприклад, згрупованих даних), вам потрібно буде скорегувати формулу.

Які відмінності між стандартним відхиленням і дисперсією?

стандартне відхилення це квадратний корінь дисперсії:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\ліворуч (x_i-\mu\справа)^2}{N}}\)

\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\ліворуч (x_i-\mu\праворуч)^2}{N}\)

Коли дисперсія використовується для визначення мінливості набору даних, результат містить одиницю даних у квадраті, що ускладнює його аналіз. Таким чином, стандартне відхилення, яке має ту саму одиницю, що й дані, є можливим інструментом для інтерпретації результату дисперсії.

Дізнайтеся більше:Абсолютна частота — кількість разів, коли одна і та ж відповідь з’являлася під час збору даних

Розв'язані вправи на середнє квадратичне відхилення

питання 1

(FGV) У класі з 10 учнів оцінки учнів були такими:

6

7

7

8

8

8

8

9

9

10

Стандартне відхилення цього списку становить приблизно

А) 0,8.

Б) 0,9.

В) 1.1.

Г) 1.3.

Д) 1,5.

роздільна здатність:

Альтернатива C.

Згідно із заявою, N = 10. Середнє значення цього списку становить

\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)

Крім того,

\(\ліворуч (6-8\праворуч)^2=4\)

\(\ліворуч (7-8\праворуч)^2=1\)

\(\ліворуч (8-8\праворуч)^2=0\)

\(\ліворуч (9-8\праворуч)^2=1\)

\(\ліворуч (10-8\праворуч)^2=4\)

\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)

Отже, стандартне відхилення цього списку становить

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\приблизно 1,1\)

питання 2

Розгляньте наведені нижче твердження та оцініть кожне з них як T (Правда) або F (Невірно).

i. Квадратний корінь із дисперсії є стандартним відхиленням.

II. Стандартне відхилення не має зв’язку із середнім арифметичним.

III. Дисперсія та стандартне відхилення є прикладами мір дисперсії.

Правильний порядок, зверху вниз

А) V-V-F

B) F-F-V

В) F-V-F

Г) Ж-Ж-Ж

E) V-F-V

роздільна здатність:

E альтернатива.

i. Квадратний корінь із дисперсії є стандартним відхиленням. (правда)

II. Стандартне відхилення не має зв’язку із середнім арифметичним. (помилковий)
Стандартне відхилення вказує на інтервал навколо середнього арифметичного, в якому потрапляє більшість даних.

III. Дисперсія та стандартне відхилення є прикладами мір дисперсії. (правда)

Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики

Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm