О стандартне відхилення є мірою дисперсії, як і дисперсія та коефіцієнт варіації. При визначенні стандартного відхилення ми можемо встановити діапазон навколо середнього арифметичного (ділення між сумою чисел у списку та кількістю доданих чисел), де зосереджена більшість даних. Чим більше значення стандартного відхилення, тим більше мінливість даних, тобто більше відхилення від середнього арифметичного.
Читайте також: Мода, середнє та медіана — основні міри центральних тенденцій
Теми цієї статті
- 1 - Підсумок стандартного відхилення
- 2 - Що таке стандартне відхилення?
- 3 - Як обчислити стандартне відхилення?
- 4 - Які існують типи стандартного відхилення?
- 5 - Які відмінності між стандартним відхиленням і дисперсією?
- 6 - Розв'язані вправи на стандартне відхилення
Підсумок стандартного відхилення
- Стандартне відхилення є мірою мінливості.
- Позначення стандартного відхилення — це мала грецька літера сигма (σ) або літера s.
- Стандартне відхилення використовується для перевірки мінливості даних навколо середнього.
- Стандартне відхилення визначає діапазон \(\ліворуч[\mu-\sigma,\mu+\sigma\праворуч]\), де знаходиться більшість даних.
- Щоб обчислити стандартне відхилення, ми повинні знайти квадратний корінь з дисперсії:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\ліворуч (x_i-\mu\справа)^2}{N}}\)
Що таке стандартне відхилення?
Стандартне відхилення дорівнює a міра дисперсії, прийнята в статистиці. Його використання пов'язане з інтерпретація дисперсії, що також є мірою дисперсії.
На практиці стандартне відхилення визначає інтервал із центром на середньому арифметичному, в якому зосереджено більшість даних. Таким чином, чим більше значення стандартного відхилення, тим більша нерегулярність даних (більше інформації неоднорідні), і чим менше значення стандартного відхилення, тим менша нерегулярність даних (більше інформації однорідний).
Не зупиняйся зараз... Після розголосу буде більше ;)
Як розрахувати стандартне відхилення?
Щоб обчислити стандартне відхилення набору даних, ми повинні знайти квадратний корінь з дисперсії. Отже, формула для розрахунку стандартного відхилення така
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\ліворуч (x_i-\mu\справа)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\lточки, x_N\) → задіяні дані.
- μ → середнє арифметичне даних.
- N → кількість даних.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\ліворуч (x_3-\mu\справа)^2+...+\ліворуч (x_N-\mu\праворуч)^2 \)
Останній елемент, який відноситься до чисельника підкореного виразу, вказує суму квадратів різниці між кожною точкою даних і середнім арифметичним. Будь ласка, зверніть увагу, що одиницею вимірювання стандартного відхилення є та сама одиниця вимірювання, що й дані x1,x2,x3,…,xНемає.
Хоча написання цієї формули є дещо складним, її застосування є простішим і прямішим. Нижче наведено приклад того, як використовувати цей вираз для обчислення стандартного відхилення.
- приклад:
Протягом двох тижнів у місті фіксувалися такі температури:
Тиждень/День |
неділя |
друге |
По-третє |
Четверте |
П'яте |
П'ятниця |
Субота |
тиждень 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
тиждень 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
У якому з двох тижнів температура в цьому місті залишалася стабільнішою?
роздільна здатність:
Щоб проаналізувати регулярність температури, ми повинні порівняти стандартні відхилення температур, зареєстрованих у 1 і 2 тижні.
- Давайте спочатку подивимося на стандартне відхилення для тижня 1:
Зазначимо, що серед μ1 Це є Немає1 вони є
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\приблизно 29,57\)
\(N_1=7 \) (7 днів на тиждень)
Крім того, нам потрібно обчислити квадрат різниці між кожною температурою та середньою температурою.
\(\ліворуч (29-29,57\праворуч)^2=0,3249\)
\(\ліворуч (30-29,57\праворуч)^2=0,1849\)
\(\ліворуч (31-29,57\праворуч)^2=2,0449\)
\(\ліворуч (31,5-29,57\праворуч)^2=3,7249\)
\(\ліворуч (28-29,57\праворуч)^2=2,4649\)
\(\лівий (28,5-29,57\правий)^2=1,1449\)
\(\ліворуч (29-29,57\праворуч)^2=0,3249\)
Додавши результати, ми маємо, що чисельник підкореного виразу у формулі стандартного відхилення дорівнює
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Отже, стандартне відхилення першого тижня
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \приблизно 1,208\ °C\)
Примітка. Цей результат означає, що більшість температур першого тижня знаходяться в інтервалі [28,36 °C, 30,77 °C], тобто інтервалі \(\ліворуч[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\праворуч]\).
- Тепер давайте подивимося на стандартне відхилення тижня 2:
Дотримуючись тих самих міркувань, ми маємо
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\лівий (28,5-28,5\правий)^2=0\)
\(\ліворуч (27-28,5\праворуч)^2=2,25\)
\(\ліворуч (28-28,5\праворуч)^2=0,25\)
\(\лівий (29-28,5\правий)^2=0,25\)
\(\ліворуч (30-28,5\праворуч)^2=2,25\)
\(\ліворуч (28-28,5\праворуч)^2=0,25\)
\(\лівий (29-28,5\правий)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Отже, стандартне відхилення 2-го тижня
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \приблизно 0,89\ °C\)
Цей результат означає, що більшість температур 2-го тижня знаходяться в діапазоні \(\ліворуч[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\праворуч]\), тобто діапазон \(\ліворуч[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\праворуч]\).
усвідомити це \(\sigma_2, тобто стандартне відхилення тижня 2 менше, ніж стандартне відхилення тижня 1. Таким чином, тиждень 2 показав більш регулярні температури, ніж тиждень 1.
Які бувають типи стандартного відхилення?
Типи стандартного відхилення пов’язані з типом організації даних. У попередньому прикладі ми працювали зі стандартним відхиленням незгрупованих даних. Щоб обчислити стандартне відхилення набору інакше організованих даних (наприклад, згрупованих даних), вам потрібно буде скорегувати формулу.
Які відмінності між стандартним відхиленням і дисперсією?
стандартне відхилення це квадратний корінь дисперсії:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\ліворуч (x_i-\mu\справа)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\ліворуч (x_i-\mu\праворуч)^2}{N}\)
Коли дисперсія використовується для визначення мінливості набору даних, результат містить одиницю даних у квадраті, що ускладнює його аналіз. Таким чином, стандартне відхилення, яке має ту саму одиницю, що й дані, є можливим інструментом для інтерпретації результату дисперсії.
Дізнайтеся більше:Абсолютна частота — кількість разів, коли одна і та ж відповідь з’являлася під час збору даних
Розв'язані вправи на середнє квадратичне відхилення
питання 1
(FGV) У класі з 10 учнів оцінки учнів були такими:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Стандартне відхилення цього списку становить приблизно
А) 0,8.
Б) 0,9.
В) 1.1.
Г) 1.3.
Д) 1,5.
роздільна здатність:
Альтернатива C.
Згідно із заявою, N = 10. Середнє значення цього списку становить
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Крім того,
\(\ліворуч (6-8\праворуч)^2=4\)
\(\ліворуч (7-8\праворуч)^2=1\)
\(\ліворуч (8-8\праворуч)^2=0\)
\(\ліворуч (9-8\праворуч)^2=1\)
\(\ліворуч (10-8\праворуч)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Отже, стандартне відхилення цього списку становить
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\приблизно 1,1\)
питання 2
Розгляньте наведені нижче твердження та оцініть кожне з них як T (Правда) або F (Невірно).
i. Квадратний корінь із дисперсії є стандартним відхиленням.
II. Стандартне відхилення не має зв’язку із середнім арифметичним.
III. Дисперсія та стандартне відхилення є прикладами мір дисперсії.
Правильний порядок, зверху вниз
А) V-V-F
B) F-F-V
В) F-V-F
Г) Ж-Ж-Ж
E) V-F-V
роздільна здатність:
E альтернатива.
i. Квадратний корінь із дисперсії є стандартним відхиленням. (правда)
II. Стандартне відхилення не має зв’язку із середнім арифметичним. (помилковий)
Стандартне відхилення вказує на інтервал навколо середнього арифметичного, в якому потрапляє більшість даних.
III. Дисперсія та стандартне відхилення є прикладами мір дисперсії. (правда)
Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики
Перегляньте тут основні концепції та принципи статистики. Подивіться також, як розділено вивчення статистики, і ознайомтеся з деякими її застосуваннями.
Клацніть і вивчіть міри дисперсії, відомі як амплітуда та девіація, і перегляньте приклади застосування цих способів аналізу інформації.
Перегляньте визначення та те, як застосувати дисперсію та стандартне відхилення, дві важливі міри дисперсії.
Натисніть і дізнайтеся, як обчислити середнє арифметичне, міру центральності, результат якої представляє список інформації.
Квадратний корінь — це математична операція, яка використовується на всіх рівнях школи. Вивчіть номенклатури та визначення, а також їх геометричну інтерпретацію.
Ви знаєте, що таке дисперсія? Навчіться обчислювати та використовувати цю цікаву міру дисперсії!
