Вивчайте з розв’язаними вправами на синус, косинус і тангенс. Потренуйтеся та розвійте свої сумніви за допомогою прокоментованих вправ.
питання 1
Визначте значення x і y у наступному трикутнику. Розглянемо sin 37º = 0,60, косинус 37º = 0,79 і tan 37º = 0,75.
Відповідь: у = 10,2 м і х = 13,43 м
Щоб визначити y, ми використовуємо синус 37º, який є відношенням протилежної сторони до гіпотенузи. Варто пам’ятати, що гіпотенуза – це відрізок, протилежний куту 90º, тому вона дорівнює 17 м.
Щоб визначити х, ми можемо використати косинус 37º, який є відношенням між стороною, суміжною з кутом 37º, і гіпотенузою.
питання 2
У наступному прямокутному трикутнику визначте значення кута , в градусах, а також його синус, косинус і тангенс.
Розглянемо:
sin 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Відповідь: ,
У трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180°. Будучи прямокутним трикутником, є кут 90º, тому для двох кутів залишилося ще 90º.
Таким чином ми маємо:
Оскільки ці кути доповнюють один одного (від одного з них другий – скільки залишилося до повного 90º), справедливо, що:
cos 62º = sin 28º = 0,47
і
sin 62º = cos 28º = 0,88
Розрахунок дотичної
Тангенс - це відношення синуса до косинуса.
питання 3
У певний час сонячного дня тінь від будинку проектується на 23 метри. Цей залишок становить 45º по відношенню до землі. Таким чином визначають висоту будинку.
Відповідь: Висота будинку 23 м.
Для визначення висоти, знаючи кут нахилу, використовуємо тангенс кута 45°.
Тангенс 45° дорівнює 1.
Будинок і тінь на землі — це катети прямокутного трикутника.
Таким чином, висота будинку 23 м.
питання 4
Геодезист — це професіонал, який використовує математичні та геометричні знання для вимірювань та вивчення поверхні. Використовуючи теодоліт, інструмент, який, серед інших функцій, вимірює кути, розташований на 37 метрів далеко від будівлі він знайшов кут 60° між площиною, паралельною землі, і висотою будівля. Якщо теодоліт стояв на штативі на відстані 180 см від землі, визначте висоту будівлі в метрах.
розглянути
Відповідь: Висота будівлі 65,81 м.
Робимо ескіз ситуації, що маємо:
Таким чином, висоту будівлі можна визначити за допомогою тангенса 60º від висоти, де знаходиться теодоліт, додавши результат до 180 см або 1,8 м, оскільки це висота, яка знаходиться від землі.
Тангенс 60° дорівнює .
Висота від теодоліта
Загальна висота
64,01 + 1,8 = 65,81 м
Висота будівлі 65,81 м.
питання 5
Визначте периметр п’ятикутника.
Розглянемо:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
засмага 67° = 2,35
Відповідь: периметр 219,1 м.
Периметр - це сума сторін п'ятикутника. Оскільки є прямокутна частина розміром 80 м, протилежна сторона також має довжину 80 м.
Периметр визначається так:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
буття , паралельно блакитній пунктирній лінії ми можемо визначити її довжину за дотичною 67°.
Для визначення значення b використовуємо косинус 67°
Отже, периметр такий:
Р = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 м
питання 6
Знайдіть синус і косинус 1110°.
Розглядаючи тригонометричне коло, маємо, що повний поворот має 360°.
Якщо поділити 1110° на 360°, то отримаємо 3,0833.... Це означає 3 повних оберти і трохи більше.
Взявши 360° x 3 = 1080° і віднімаючи від 1110, отримаємо:
1110° - 1080° = 30°
Вважаючи напрямок проти годинникової стрілки позитивним, після трьох повних обертів повертаємося до початку, на 1080° або 0°. З цієї точки просуваємося ще на 30°.
Отже, синус і косинус 1110° дорівнюють синусу і косинусу 30°
питання 7
(CEDERJ 2021) Вивчаючи тригонометрію, Джулія дізналася, що sin² 72° дорівнює
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Фундаментальне співвідношення тригонометрії говорить, що:
Де х - значення кута.
Взявши x = 72º і виділивши синус, маємо:
питання 8
Пандуси – це хороший спосіб забезпечити доступність для інвалідів на візках і людей з обмеженими можливостями. Доступ до будівель, меблів, приміщень та міського обладнання гарантується законом.
Бразильська асоціація технічних норм (ABNT) відповідно до Закону Бразилії про включення осіб з Інвалідність (13,146/2015), регламентує конструкцію та визначає ухил пандусів, а також розрахунки для їх будівництво. Інструкції з розрахунку ABNT вказують на максимальну межу нахилу 8,33% (співвідношення 1:12). Це означає, що для подолання різниці в 1 м рампа повинна мати довжину не менше 12 м і це визначає, що кут нахилу пандуса по відношенню до горизонтальної площини не може бути більшим за 7°.
За попередньою інформацією, щоб пандус довжиною 14 м і нахилом 7º в по відношенню до площини, знаходиться в межах норм ABNT, вона повинна служити для подолання розриву з максимальною висотою
Використання: sin 7-й = 0,12; cos 7º = 0,99 і tan 7º = 0,12.
а) 1,2 м.
б) 1,32 м.
в) 1,4 м.
г) 1,56 м.
д) 1,68 м.
Пандус утворює прямокутний трикутник, довжина якого становить 14 м, що складає по відношенню до горизонталі кут 7º, де висота є стороною, протилежною куту.
Використовуючи синус 7°:
Висота, якої має досягти пандус, становить 1,68 м.
питання 9
(Unesp 2012) Будівля лікарні будується на похилій місцевості. Для оптимізації забудови відповідальний архітектор спроектував паркінг у підвалі будівлі, з входом із задньої вулиці земельної ділянки. Приймальня лікарні знаходиться на висоті 5 метрів над рівнем стоянки, що вимагає будівництва прямого під’їзду для пацієнтів з обмеженими можливостями пересування. На малюнку схематично зображено цю рампу (r), що з’єднує точку А на поверсі приймальні з точкою В на парковці, яка повинна мати мінімальний нахил α 30º і максимальний 45º.
За цих умов і враховуючи , якими мають бути максимальні та мінімальні значення в метрах довжини цієї рампи?
Відповідь: Довжина під’їзної рампи становитиме мінімум 7 м і максимум 10 м.
Проектом уже передбачено та встановлено висоту 5 м. Нам потрібно обчислити довжину рампи, яка є гіпотенузою прямокутного трикутника, для кутів 30° і 45°.
Для розрахунку ми використали синус кута, який є відношенням між протилежною стороною, 5m, і гіпотенузою r, яка є довжиною рампи.
Для помітних кутів 30° і 45° значення синуса є:
для 30°
до 45°
раціоналізація
Підставляючи значення
питання 10
(EPCAR 2020) Вночі гелікоптер бразильських ВПС пролітає над рівнинною місцевістю і помічає БПЛА (повітряний транспортний засіб Безпілотний) круглої форми та незначної висоти, радіусом 3 м, припаркований паралельно землі на відстані 30 м від висота.
БПЛА знаходиться на відстані y метрів від прожектора, встановленого на вертольоті.
Промінь світла від прожектора, який проходить повз БПЛА, падає на плоску область і створює круглу тінь з центром O і радіусом R.
Радіус R кола тіні утворює з променем світла кут 60º, як показано на наступному малюнку.
У цей момент людина, яка знаходиться в точці А на окружності тіні, біжить до точки О, ступню від перпендикуляра, проведеного від прожектора до площини області.
Відстань у метрах, яку проходить ця людина від А до О, є числом між ними
а) 18 і 19
б) 19 і 20
в) 20 і 21
г) 22 і 23
об'єктивний
Визначте довжину відрізка , радіус кола тіні.
Дані
- Висота від О до БПЛА 30 м.
- Радіус БПЛА 3 м.
Використовуючи дотичну 60°, ми визначаємо частину, виділену червоним кольором на наступному зображенні:
Враховуючи тангенс 60° = а тангенс - це відношення між стороною, протилежною куту, і його суміжною стороною, маємо:
раціоналізація
Довжина AO дорівнює
наближається до значення
Приблизне вимірювання сегмента AO становить 20,3 м, тобто значення від 20 до 21.
Також навчайтеся з:
- Синус, косинус і тангенс
- Вправи на тригонометрію в прямокутному трикутнику
- Вправи з тригонометрії
- Тригонометрія в прямокутному трикутнику
- Тригонометрія
- тригонометричні тотожності
- Вправи на тригонометричні співвідношення
- Метричні відношення в прямокутному трикутнику
- Тригонометричні відношення
- кути
- Тригонометричні коефіцієнти
- тригонометрична таблиця
- Тригонометричні функції
- Тригонометричне коло
- Закон синусів
- Закон косинусів
